奥数：12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理.题库学生版

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1、梅涅劳斯定理和塞瓦定理中考要求知识点A要求B要求Ｃ要求比例及定理熟知定理内容掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运用定理解决问题会运用定理及其推论的内容来解决相似的问题知识点睛一、比例的基本性质1)这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;2)(反比定理);3)(或)(更比定理);4)(合比定理);5)(分比定理);6)(合分比定理);7)(等比定理).二、平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理如下图，如果，则，，.2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果，则，反之如果有，那么∥三、梅涅

2、劳斯定理梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理．梅涅劳斯定理：、、分别是△三边所在直线、、上的点．则、、共线的充分必要条件是：．根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或、、三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或、、三点分别都在三角形三边的延长线上．证明：（1）必要性，即若、、三点共线，则．设、、到直线的距离分别为、、．则，、，三式相乘即得（2）充分性，即若，则、、三点共线．设直线交于，由已证必要性得：又因为，所以．因为和或同在线段上，或同

3、在边的延长线上，并且能分得比值相等，所以和比重合为一点，也就是、、三点共线．梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在、、三个比中，已知其中两个可以求得第三个．二是证明三点共线．四、塞瓦定理连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理．塞瓦定理：从的每个顶点出发作一条塞瓦线．则共点的充分必要条件是．充分性命题：设的三条塞瓦线共点，则必有．必要性命题：设中，是三条塞瓦线，如果，则三线

4、共点．我们先证明充分性命题．如图，设相交于点，过作边的平行线，分别交的延长线于．由平行截割定理，得．上面三式两边分别相乘得：我们再证明必要性命题．假设与这两条塞瓦线相交于点，连交于．则也是一条过点的的塞瓦线．根据已证充分性命题，可得，由因为，进而可得．所以，因此．所以与重合，从而和重合，于是得出共点．塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用．第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题．第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式．利用这个关系式可以证明线段之间的比例

5、式或乘积式．例题精讲一、梅涅劳斯定理【例1】已知△中，是的重点，经过的直线交与，交的延长线于．求证：．【例2】如图所示，△中，∠=90°，．为边上的中线，于，的延长线交于．求．【例3】在△的三边、、上分别取点、、．使．若与，与，与的交点分别为、、求证：．【例1】如图所示，△的三条外角平分线、、，与对边所在直线交于、、三点，求证：、、三点共线．【例2】如图所示，设、分别在△的边、上，与交于，，．．求．【例3】如图所示，△内三个三角形面积分别为5，8，10．四边形的面积为，求的值．【例4】如图所示，△被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分

6、为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求△的面积．【例1】中，分别是，上的点，且．与交于，问的面积与面积的比值是多少？【例2】是平行四边形内任意一点，过作的平行线，分别交于，交于；又过作的平行线，分别交于，交于，又，相交于．求证：三点共线．二、塞瓦定理【例3】设是的三条中线，求证：共点．【例4】若分别为的三条内角平分线．求证：共点．【例1】若分别为锐角的三角高线，求证：共点．【例2】如图，设为内一点，与交于点，与交于，若通过的中点，求证：．【例3】锐角三角形中，是边上的高线，是线段内任一点，和的延长线分别交、于、，求证：．【例

7、4】如图，在四边形中，对角线平分，在上取一点，与相交于，延长交于．求证：．【例1】如图，四边形的对边和，和分别相交于，对角线与交于．直线与，分别交于．求证：．五一促销方案一．活动主题：购凯莱地板免费游港澳好礼送不停赢取华硕笔记本电脑二．活动时间：2011年4月9日——2011年5月6日三．活动范围：全省凯莱专卖店对于不参加本次促销活动的专卖店兰州公司取消2011全年物料、礼品、人员及促销政策的支持，特此说明！四、活动目标：全省区域销售50000平方米五、活动背景与市场分析：2011年仍是甘肃房地产继续实施宏观调控的一年，是抑制通胀、调结

8、构、保增长、惠民生的又一年，2011年甘肃消费市场在各种因素作用下，但经济整体稳定向好，刚性需求、保障性需求的政策导向决定了2011年市场仍然存在很多机会，特别是对于凯莱这样正在高速成长品牌企业。1.我们分