梅涅劳斯定理与塞瓦定理资料

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1、梅涅劳斯定理与塞瓦定理板块一梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．　　证法一：如左图，过作∥∵，∴．证法二：如中图，过作交的延长线于∴，，三式相乘即得：．证法三：如右图，分别过作的垂线，分别交于．则有，所以．梅涅劳斯定理的逆定理：若、、分别是的三边、、或其延长线的三点，如果，则、、三点共线．夯实基础【例1】如图，在中，为中线，过点任作一直线交于点，交于点，求证：．【解析】∵直线是的梅氏线，∴．而，∴，即．习

2、题1.在△中，是的中点，经过点的直线交于点，交的延长线于点．求证：．【解析】直线截三边于、、三点，应用梅氏定理，知，又因为，所以，即．习题2.如图，在△中，，．为边上的中线，于点，的延长线交于点．求．【解析】由题设，在中，，，由射影定理．对和截线，由梅涅劳斯定理，，即．所以．探索提升【例1】如图，在中，为中点，，求证：．【解析】∵直线是的梅氏线，∴．∴，∴∵直线是的梅氏线，∴，∴，．∴．习题1.如图，在中，为的中点，．求．【解析】∵是的梅氏线，∴．∵为的中点，，∴，．∴，∴．∵是的梅氏线，∴，∴，

3、∴．∴．∴．【例1】过的重心的直线分别交、于点、，交的延长线于点．求证：．　　【解析】作直线交于，∵，．∴．∴．同理，，而∴．【例2】如图，点、分别在的边、上，，，与交于点，．求．【解析】对和截线，由梅氏定理得：，即，所以．所以，进而．习题1.如图，在中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形的面积为，求的值．【解析】对和截线，由梅氏定理得：，即，解得．【备选】如图，被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求的面积．【解析】对和截线，由梅氏定理得：

4、，即，所以，所以．所以．非常挑战【例1】如图，在中，的外角平分线与边的延长线交于点，的平分线与边交于点，的平分线与边交于点，求证：、、三点共线．【解析】是的外角平分线，则①是的平分线，则②是的平分线，则③得因在上，在上，在的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：、、三点共线．习题1.证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．【解析】如图，分别为三角形的三个外角平分线，分别交于．过作的平行线，则，所以是等腰三角形．则．则有：．同理；．所以．所以共线．板块二塞瓦定理及其逆定理

5、知识导航塞瓦定理：如果的三个顶点与一点的连线、、交对边或其延长线于点、、，如图，那么．通常称点为的塞瓦点．证明：　∵直线、分别是、的梅氏线，∴，．两式相乘即可得：．塞瓦定理的逆定理：如果点、、分别在的边、、上或其延长线上，并且，那么、、相交于一点（或平行）．　　证明：　⑴若与相交于一点时，如图，作直线交于．由塞瓦定理得：，又已知，∴，∴，∴．∴与重合∴与重合∴、、相交于一点．⑵若与所在直线不相交，则∥，如图．∴，又已知，∴，即．∴，∴．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．探索提升【例1】（1）

6、设是的三条中线，求证：三线共点．（2）若为的三条内角平分线．求证：三线共点．【解析】（1）由条件知，．∴，根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线共点．这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：．三式分别相乘，得：．根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线共点，这个点称为这个三角形的内心．习题1.若分别为锐角的三条高线，求证：三线共点．【解析】由得：；由得：；由可得：．所以．根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条

7、高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例1】如图，为内的一点，与交于点，与交于点，若通过的中点，求证：．【解析】对和点应用塞瓦定理可得：．又因为，所以．进而，所以．习题2.如果梯形的两腰、的延长线交于，两条对角线交于．求证：直线必平分梯形的两底．【解析】∵∴∴∵（由塞瓦定理得）∴，∴∵，∴．板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合非常挑战【备选】如图，、分别为的、边上的点，且，，、交于点，的延长线交于点．求的值．【解析】∵为的塞瓦点．∴∴，∴．∵为的梅氏线，∴∴【备选】如图，四边形的对边和，和分别相交

8、于点，对角线与交于点．直线与、分别交于点．求证：．【解析】对与点应用塞瓦定理得：．对和截线应用梅涅劳斯定理可得：．进而可得．