初二暑.第9讲.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.课后作业.pdf

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1、9梅涅劳斯定理与塞瓦定理习题1．在△ABC中，D是BC的中点，经过点D的直线交AB于点E，交CA的延长线于点F．求FAEA证：=．FFCEB【解析】直线截△ABC三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，知CDBEAFBEAFA⋅⋅=1，又因为BD=BC，所以⋅=1，即DBEAFCEAFCEFAEA=．FCEBBDC习题2．如图，在△ABC中，∠=°ACB90，AC=BC．AM为BC边上的中线，CD⊥AM于点D，AECD的延长线交AB于点E．求．CEB【解析】由题设，在Rt△AMC中，CD⊥AM，AC=2CM，MADADAM⋅AC2D由射影定理==

2、=4．2DMDMAM⋅CMB对△ABM和截线EDC，由梅涅劳斯定理，AEAEBCMD⋅⋅=1，EBCMDAAE21AE即⋅⋅=1．所以=2．EB14EB习题3．已知AD是△ABC的高，点D在BC内，且BD=3，CD=1，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．A【解析】如图，设CG=x，直线EFG是△ABC的梅氏线，4+xCFAE则由梅涅劳斯定理⋅⋅=1．xFAEBE22CFDCAEAD显然的=，=，22FAADEBBDF14+x1于是⋅=1，得x=．BDCG9x21习题4．证明：不等边三角形的三个

3、角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．AAPBBCCDEFDEF【解析】如图，CDBEAF、、分别为三角形ABC的三个外角平分线，分别交ABACBC、、延长线于DEF、、．过C作BE的平行线，则∠=BCP∠=CBE∠=EBD∠CPB，所以△BPC是等腰三角形．则PB=CB．CEPBCB则有：==．EABABAADACBFBA同理=；=．DBCBFCACCEADBFCBACBA所以⋅⋅=⋅⋅=1．EADBFCBACBAC所以DEF、、共线．习题5．如图，在△ABC中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD的面积为x，求x的值．CD

4、ABEFA【解析】对△ECA和截线BFD，由梅氏定理得：⋅⋅=1,DABEFCxD18x+231EF即⋅⋅=1，解得x=22．85+x152510BC习题6．如图，△ABC被通过它的三个顶点与一个内点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求△ABC的面积．CAFBCDO【解析】对△ABD和截线COF，由梅氏定理得：⋅⋅=1，FBCDOAE41BCBC3BC即⋅⋅=1，所以=，所以=3．OD32CDCD2BD354030所以SS△△ABC=3ABD=×=3105315．AFB2BDCEAF1习题7．在△ABC的三边BC、

5、CA、AB上分别取点D、E、F，使得===．若BE与DCEAFB2S△ABC1111CF，CF与AD，AD与BE的交点分别为A1、B1、C1，求证：=．S7△ABCAFBCDB13DBAB3111【解析】⋅⋅=1，即⋅⋅=1，所以=．FBCDBA122BA1BD14AAB3S△ABC31=，所以1=因此．AD7S7F△ADCB1SDC2△ADC==E又因为，SBC3C1△ABCA1SS△△ABC11ABCS△ADC322BDC所以=⋅=⋅=．SSS737△△ABC△ADCABCS△BCA12S△CAB12S△ABC1111同理=，=．进而可得

6、=．S△ABC7S△ABC7S△ABC7习题8．若AX，BY，CZ分别为△ABC的三条内角平分线．求证：AX，BY，CZ三线共点．【解析】由三角形内角平分线定理得：BXABCYBCAZACA=，，==．XCACYABAZBBCBXCYAZABBCAC三式分别相乘，得：⋅⋅=⋅⋅=1．ZXCYAZBACABBCY根据塞瓦定理的逆定理可得BXC三角形三内角平分线AX，BY，CZ共点，这个点称为这个三角形的内心．习题9．如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N．求证：直线MN必平分梯形的两底．MDCM【解析】∵AB∥CD，∴

7、=DABCMMDBC∴⋅=1DACMDPCMDAQBC∵⋅⋅=1（由塞瓦定理得）DAQBCMNAQ∴=1，∴AQ=QBAQBQBDPPC∵=，∴DP=PC．AQQB3习题10．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，点B在AD上的射影为点E，BE交AM于点N，求证：DN∥AB．AACGCDDMMBNEBNEF【解析】连接EM并延长交AB于点G，延长BE、AC交于点F．因AE⊥BF，AD平分∠BAC，则△ABF为等腰三角形．从而AB=AF，BE=EF．因BM=MC，则ME∥CF，BG=GA．在△ABE中，AN、BD、EG相交于一点

8、M，由塞瓦定理得BNEDAG⋅⋅=1，NEDAGBENED于是=，因此DN∥AB．NBDA习题11．如图，E、F分别为△ABC的AC、AB边上的点，且AE=3EC，