.2.4-随机积分(A).ppt

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1、随机积分——Ito积分1引言Ito积分Ito积分的性质主要内容2我们知道，微积分基本定理可以用来证明积分和导数之间存在某种对应关系。事实上，积分就是增量之和，而导数则是变化速度。一个很自然的期望是，如果将变量Xt的增量dXt从初值X0=0开始相加，那么，我们所得到的最终结果是这意味着，对于每一个微分方程而言，我们可以导出相应的积分方程。引言3现在考虑一个表示资产价格St动态行为的随机微分方程为：方程两边同时积分就可以得到右边最后一项是关于维纳过程Wt增量的积分。4由于右边项的增量非常不规则，而Ito积

2、分的规范定义会使得随机微分方程的概念更为准确，一旦按照某种方式对积分进行了定义，那么我们就可以对上式微分方程进行积分：h是某个有限的时间区间。5Ito积分实践的重要性：如前所述，随机微分方程可以根据Ito积分来定义。为理解随机微分方程背后的真实含义，我们必须理解Ito积分的含义，否则对现实使用随机微分方程会导致一些偏差甚至错误。假设随机微分方程是在一个无穷小区间上进行定义的，我们需要对有限区间上的随机微分方程进行逼近。6Ito积分Ito积分是定义不可数多个无法预测变量之和的一种方法，使用黎曼-斯蒂阶积

3、分中所应用的方法不可能获得这样的积分，看清其中的原因非常重要。如，维纳过程的增量dWt代表的是不可预测的变量，维纳过程在t时刻的值Wt是不可数多个独立增量的和：这是随机积分最为简单的形式。7更为重要的随机积分是将随机微分方程中的干扰项进行积分：以上两式的积分都是非常不规则的随机变量之和，因为dWt和dWt+p仍然不相关。问题是，这些不规则随机变量之和是否具有意义的定义，这样的和式毕竟不是有界的。8考虑随机微分方程有限区间上的逼近可否利用黎曼—斯蒂阶方法来将关于随机变量St的积分定义为极限？假设T=nh

4、,可以发现左边项和右边第一项皆为：时间是一个光滑函数，且具有有界变差。由此，可以用黎曼—斯蒂阶方法来求积分：9对于右边第二项在Ik-1下，为随机变量，和是关于随机变量的积分。10我们不禁会问：应该使用哪种极限？问题是上式的和是随机变量，极限也是一个随机变量，黎曼—斯蒂阶方法所使用的确定性极限概念在里无法使用。什么条件下极限收敛？极限随机变量有哪些性质？由此，来定义随机变量求和的极限问题，即Ito积分。11考虑随机微分方程在有限区间上的逼近：其中，[Wk-Wk-1]是均值为0、方差为h的标准维纳过程。定

5、义：Ito积分12令（1）是无法预测的（2）随机变量不是”发散的”：于是，积分13根据上述定义，当区间数趋于无穷大且每一个子区间的长度趋于无穷小时，有限和可以用来逼近Ito积分。即分割细度的选择不会影响Ito积分的值。总之，我们可以看到确定性积分与随机积分之间存在三大差异：随机积分所使用的极限概念不一样；Ito积分只是对不可预测的函数才有意义；标准微积分中的积分是使用函数的“真实”路径来进行定义的，而随积积分的定义使用的是“随机”轨道。14Ito积分的性质15Ito积分是鞅描述资产价格动态行为的模型，

6、包含一个表示不可预测信息的干扰项。因此，积分是无法预测的扰动项。在信息结合It给定的条件下，16