2.4-流体运动的积分方程

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1、§2.4流体运动的积分方程§2.4.1基本概念流体动力学是研究产生流体运动的原因。为此，我们必须解决三个方面的问题：（1）流体的运动学问题（如前述）；（2）作用于流体上各种力的特征（如前述）；（3）控制流体运动的普遍规律；流体动力学基本方程就是将经典牛顿力学描述物质运动的普遍规律，应用于流体运动的物理现象中，从而得到联系流体运动各物理量之间的关系式。系统的基本特点：（1）系统边界随流体一起运动；（2）在系统的边界上没有质量的交换；（3）在系统的边界上受到外界的表面力；（4）在系统的边界上存在能量的交换

2、。t’txyz§2.4.1基本概念1、系统(System)定义：系统是指包含着确定不变物质的任何集合体，称为系统。在流体力学中，系统是指由任何确定流体质点组成的团体。2、控制体（ControlVolume）定义：被流体所流过，相对于某个坐标系而言，固定不变的任何体积称为控制体。控制体的边界，称为控制面。控制体是不变的，但占据控制体的流体质点随时间是变化的。控制体的形状可根据需要而定。§2.4.1基本概念xzyxyzs1s2n控制体的基本特点:（1）控制体的边界相对于坐标系而言是固定的；（2）在控制面上

3、可以发生质量交换，即流体可以流进、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制体内流体上的力；（4）在控制面上存在能量的交换。§2.4.1基本概念针对质量m确定的封闭系统τ，上述基本物理定律可以分别表述为：（1）质量方程：表示：系统τ中的质量m不随时间变化。（2）动量方程：表示：系统受外界作用的合外力等于系统的动量对时间的变化率。§2.4.2Lagrange型积分方程（3）动量矩方程表示：外界作用于系统上所有外力对某点力矩之和等于系统对同一点的动量矩对时间的变化率。（4）能量方程表示：单位时间内由外

4、界传入系统的热量与外界对系统所做的功之和等于该系统的总能量E对时间的变化率。其中右端括号内为单位质量流体所含内能和动能。§2.4.2Lagrange型积分方程上述积分方程称为拉格朗日型积分方程，其特点是：研究对象是质量确定的封闭系统τ，方程中均含有封闭系统中某物理量对时间的变化率。由于流体系统τ的大小和形状均随时间而改变，长时间追踪系统有困难。此外要确切表达系统中物理量随时间的变化率也不容易。有许多流体力学问题往往只关心物体附近确定区域内的速度、作用力等，并不关心具体流体系统的时间历程，拉格朗日型方程

5、对于分析、研究流场来说并不方便，因此实用的是以控制体为研究对象的Euler型积分方程。§2.4.2Lagrange型积分方程由质量守恒：这就是积分形式的质量方程。其意义为：控制体中质量的增加率等于净流入控制面的质量流量。xyztτs1s2nEuler型积分方程是对控制体建立的积分方程。利用Reynolds输运方程，可很容易获得。（1）质量方程由雷诺输运方程，取σ＝1，有§2.4.4Euler型积分方程由雷诺输运方程，取，有：（2）动量方程由动量守恒原理得：意义为：控制体所受合外力等于控制体中动量的增加

6、率加上净流出控制面的动量流量。－积分形式动量方程§2.4.4Euler型积分方程由雷诺输运方程，取，有：（3）动量矩方程由动量矩守恒原理得：－积分形式动量矩方程意义是：控制体所受合外力矩等于控制体中动量矩的增加率加上净流出控制面的动量矩流量。§2.4.4Euler型积分方程pdsτn由雷诺输运方程，取，有：（4）能量方程由能量守恒原理得：－积分形式能量方程意义是：外界对控制体的传热率和净输入功率等于控制体中能量的增加率加上净流出控制面的能量流量。§2.4.4Euler型积分方程我们将系统在初始时刻占据

7、的空间设为控制体，因此在初始瞬间上述对系统输入的加热率和做的功率都可以看成是对控制体的加热率和功率。pdsτn其中，外界对系统做功还可以细分为：流体机械通过轴转动传递的功率称为轴功率（有正负），表面力对系统做功以及彻体力对系统做功。设输入功为正，输出功为负，则水泵、风机等输入正功，涡轮输入负功：§2.4.4Euler型积分方程表面力做功还可以分为法向应力做功和切向应力做功。法向应力做功（率）为：切向应力做功（率）为：S为控制体的外表面积上式中的表面剪应力做功（率）一项可以分以下三种情况来考虑：§2.4

8、.4Euler型积分方程（1）如果控制面的部分表面为旋转轴表面，则这部分表面上的剪应力做的功率已归入轴功率之中；（2）部分控制面可能为静止固体表面，因为V=0，从而上述剪切应力做功为零；（3）控制面表面是流体进出的通道，此时可以通过适当选择控制面方位和形状使控制面和流体速度相垂直，即剪应力与速度相垂直，从而上述剪切应力做功为零；总之，可以适当选择控制面使剪应力在控制面上做的功（率）为零：§2.4.4Euler型积分方程彻体力做功（率）为：τ为控制体的体积