随机积分与Ito定理ppt课件.ppt

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1、第八章随机积分—Ito积分第一节引言第二节Ito积分的理论第三节Ito积分的特征第四节Ito定理及应用第五节更复杂情况下的Ito公式1第一节引言一、Ito积分的导出在物理现象中是用微分方程来描述其模型，而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微分与积分的关系，建立相应的积分方程。但在随机环境中，由于不可预测的“消息”不断出现，并且表示现象动态性的等式是这些噪音的函数，这就无法定义一个有效的导数，建立一个微分方程。然而，在某些条件下可以定义一个积分—Ito积分，建立积分方程。首页2前面讨论的随机微分等式，其中的项都只是近似

2、讨论，而没给出精确的解释。但如果给出Ito积分的定义，反过来才能更确切地讨论。即若用微分方程代表资产价格的动态行为，那么能否对两边取积分，即也就是说，是否等式右边第二项的积分有意义？为解释此项积分的含义，需引进Ito积分首页3也就是说，一旦定义Ito积分，则上积分等式才有意义即有其中h为一定的时间间隔。若则上等式改写为即或这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式首页4此表示式为一近似式，其精确公式为二、Ito积分的重要性首先随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义，要理解随机微分方程的真正含义，必须首先理解Ito积分。其次

3、在实际运用当中，经常先用固定的时间间隔，得出随机微分方程的近似值，然后再通过Ito积分就可以给出近似值的精确形式。返回首页5第二节Ito积分的理论Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不可预测的随机增量的总和。布朗运动如果标准布朗运动一、Ito积分的定义首页6定义1满足作和式如果均方极限存在则称记为首页7注意在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式原因是即所以这里取固定的左端点。定理1首页8定理2则证令则首页9因为0首页10例1解试求故首页11注表明Ito随机积分不同于黎曼积分二、Ito积分的性质性质1则（1）（2）证

4、明与黎曼积分相仿（略）首页12性质2则证明略首页13性质3则存在且关于t是均方连续的。证明首页14三、Ito微分法则则第二个积分作为Ito积分存在，且（1）这时称(1)式定义的随机过程有(Ito)随机微分并记为首页15例2求随机微分解由例１可知即由随机微分的定义首页16定理3Ito公式的二次微分函数，则且首页17例3求随机微分解设因为所以由Ito公式得首页18定理4都是连续函数．如果随机过程有随机微分则首页19注是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现，称为Ito公式首页20四、Ito随机微分方程则在Ito积分和微分的基

5、础上建立的随机微分方程称为Ito随机微分方程与Ito随机微分方程等价的Ito随机积分方程其中右边第一个积分是均值积分，第二个积分是Ito积分首页21例4考虑Ito方程取由Ito公式得即所以即注将看作普通函数，则解为返回首页22第三节Ito积分的特征资产价格理论意义下Ito积分其中在信息集下是非预期的一、Ito积分是鞅在间隔内影响资产价格不可预测的干扰总和可表示为则此Ito积分就是鞅。因为首页23给定时间t的信息集，如果每个增量是不可预测的，则这些增量的总和也是不可预测的，即于是故Ito积分是鞅。首页24下面考虑两种有意思

6、的情况：1．第一种情况假设此时Ito积分就等同于Riemann积分即有则即积分是鞅首页25因为维纳过程的增量具有0均值且是非相关的，故此积分是鞅注当是常数时，Riemann和Ito积分是相同的且都是鞅首页262．第二种情况若此时Ito积分就不同于Riemann积分。Ito积分将保持鞅特性，而Riemman将不再具有鞅特性。例如如果衍生产品的标的资产具有几何分布，其方差则可表明Ito积分就不同于Riemann积分。用Riemann求和来大致估计Ito积分会导致自相矛盾，方法具体过程如下例：首页273．一个例子其中偏移量和方

7、差率分别为假设资产价格满足随机微分方程即两个参数都比例于资产价格考虑一个小时间间隔，对随机微分方程积分现在用Rieman求和来讨论上式右边的第二项积分的近似计算，看会有什么结果？首页28Rieman求和的一种近似计算是用子间隔的中点处的维纳过程测值来计算。首先计算然后再乘以矩形的底得从而有两项相关下面考虑上随机微分方程的简单形式则其新增项形式为首页29用Riemann求和来大致估计这样一个积分，根据底和高为矩形的面积可得由于期望这意味着上式右边的条件期望不为0，即是可预测的，首页30从而可知，用Riemann求和来估计I

8、to积分意味着新增干扰项有一个非零期望值，即但由于Ito积分存在条件：即有则Ito积分的近似计算必须是矛盾首页31注如果被积函数不是非预期的，则不能保证用来构建Ito积分的部分求和的均方值会收敛为一个有效的随机变量，即Ito积分根本就不存在。二、路径积分考察在期间[0，T]内资产价格间隔长度为分割：且有首页32假设一