高中平面向量（4—7）

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1、课题：平面向量（§4—§7）主讲：九江市二中王玉兰（演播室）今天我们进行数学必修4第二章平面向量§4—§7节的学习，为大家主讲的是九江市二中的王玉兰老师。一起来到演播室的还有九江市二中的刘梦颖，胡洪波同学。同学们：从第四节开始我们学习平面向量及其运算的坐标表示。大家知道传统的欧几里得几何学研究所采用的综合方法存在较大的思维难度和严谨的逻辑思维要求，同学们难以掌握，向量的引入将几何代数化，使之可以向数一样进行运算，沟通了代数与几何的联系，对增强大家学习几何的信心，培养数形结合的思想，完善数学的认知结构有重大作用。今天这堂课，王玉兰老师首先对后四节内容进行系统梳理，在此基础上通过两类典型例

2、题的讲解，强化知识的运用，最后为大家作学习方法的总结。王：首先我们简要回顾一下后四节内容的知识结构框图：平面向量线性运算的坐标表示平面向量的坐标表示向量在几何中的应用向量在物理中的应用向量的应用举例向量的数量积平面向量的坐标平面向量平面向量数量积的坐标表示（幻灯片显示知识结构框图,注意显示有效时间）王：由知识结构框图，我们重温了一遍后四节所学的知识,强调①向量数量积不满足结合律,②性质的表述及作用。下面我们以每周一练中的习题为例，进一步感知向量在几何及物理中的应用。请看例一(第8题),我们已经学习了向量的坐标表示,此题要证明两线段相等,请问刘梦颖同学,怎样利用我们刚学的向量坐标运算的方

3、法来解决这一问题?（幻灯片显示第8题题目）8、如图正方形中，是对角线上的一点，四边形是矩形，用向量方法证明：.刘：可以以正方形的顶点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系并设正方形的边长为.王:很好,请继续读出各相应点的坐标.刘:，噢!还应设辅助量，这样可得出此时,王：正确，根据请同学们在小白板写出，看看所得结果是否相等，学生展示，屏幕显示完整解答（幻灯片显示第8题详解）。王：我们继续以一个物理题为例，看看向量在物理中的应用（幻灯片显示第9题题目），请胡洪波同学来分析一下这个问题的解题思路。胡：我们以力的作用点为原点，竖直方向为轴建立直角坐标系，再将分解为水平方向和竖直方向上的力王：请在

4、小白板上画出受力分析图。胡：画出后展示，因为，由受力平衡知，物体在水平方向和竖直方向上受力平衡。王：很好，这样我们通过代数解方程可得结果。（幻灯片显示第9题详解）王：通过这两个例题的讲解，我们进一步体验了向量在几何及物理中的广泛应用，解决这类问题，首先要建立适当的直角坐标系，将问题通过向量代数化，其次，建立向量模型后，要结合问题的实际背景进行分析，准确表述。王：大家还有什么问题吗？刘：老师，第10题该怎么分析？（幻灯片显示第10题题目）如图，在中，已知长度为的线段是以点为中点，问与的夹角为取什么值时，的值最大？并求出最大值.王：此题要求的最大值，那么首先我们将的数量积表示出来，大家看图

5、（幻灯片显示相关图形）：因此上式可进一步整理，请大家在小白板上写出来。学生展示（幻灯片显示第9题详解），王：经整理得，时最大，最大值为0（幻灯片显示的夹角变化的情况）。向量的数量积是本章学习的一大重点内容，它是向量独具特色的一种运算，同时还有一些独特而非常有用的性质，例如等，我们在例题中已经有所学习，向量的数量积运算是实现形和数，或者更具体的说是向量关系和数量关系之间相互转化的一种重要渠道和方法，可以用来解决有关“距离”、“角度”、“垂直”、“三角函数”、“不等式”等各种问题，通过把问题转化为向量运算，再把运算结果还原为几何关系，使问题得解。这种结构化的思维方法常能使纷繁复杂的几何关系

6、变成井然有序的向量关系，希望同学们高度重视。