培优教程7平面向量

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1、培优教程平面向量一、知识提要平面向量兼具几何和代数双重属性，掌握其几何形式和代数形式的运算，或可利用向量解决几何问题，或可构造向量巧解代数问题。重要定理、公式：(1)平面向量基本定理是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使(2)两个向量平行的充要条件∥＝λ(3)两个非零向量垂直的充要条件⊥·＝O二、例题选讲：例1、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若,,则（）A．B.C.D.变式：1、是梯形，且，分别是和的中点，设，试用表示和。2、已知分别是的边上的中线,且,则为（）A.

2、B.C.D.ACBO3、如图，已知的夹角为1200，的夹角为300，用.4例2、△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P在（）A、∠AOB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上D、AB边的中线上变式：1、已知是内的一点，若，则是的心.2、P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）　　A．外心　B．内心　C．重心　D．垂心3、已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形4、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=例3、在中，设向量，求证：的面积为；如果

3、，用表示S。变式；1、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。42、已知不共线的三向量两两所成的角相等，并且，试求向量的长度。例4、求证：以原点为始点的三个向量的终点A、B、C共线的充要条件是ABCO变式：1、已知，（如图），求证：A、B、C三点在一直线上的充要条件是存在不全为0的实数l、m、n使得.例5、已知试求的最小值。4变式：1、对于，试确定的所有可能的值。2、已知求证：3、设为不相等的正数，求证：例6、求证平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线。例7、O为的外心，H为垂心，求证：变式：

4、1、求证：的外心O，重心G，垂心H在一条直线（欧拉线）上，且2、在内求一点P，使的值最小。4