培优材料之二平面向量

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1、培优材料之二　平面向量1．理解平面向量的概念及向量相等的含义，向量的几何表示，掌握向量加法、减法的运算，及几何意义.例1．下列个命题中，真命题的个数为（）①若，则或②若，则是一个平行四边形的四个顶点③若，则④若，则4321练1．在中，已知，则（）练2．已知平行四边形的3个顶点为，则它的第4个顶点的坐标是（）2.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.例2．（1）设两个非零向量、不共线，如果,求证：三点共线.（2）设、是两个不共线的向量，已知,若三点共线，求的值.（1）证明：因为所以又因为得即又因为公共点所以三点共线；（2）解：因为共线

2、所以设所以即；练3．已知是两个不共线的非零向量，它们的起点相同，且三个向量的终点在同一条直线上，求实数的值.练4．设是不共线的向量，与共线，则实数的值是___________.3．了解平面向量的基本定理及其意义.例3．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可为基底中的向量。其中正确的说法是：（）A．①，②；B．②，③；C．①，③；D．①，②，③。4．掌握平面向量的正交分解及其加法，减法，数乘，共线的坐标表示.例4．已知向量，，且，求实数

3、的值。解：因为，所以，又因为所以，即解得例5．已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标.解：设，则因为是与的交点所以在直线上，也在直线上即得由点得，得方程组解之得故直线与的交点的坐标为。练5．已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？.解：（1）因为所以则（2），因为与平行所以即得此时，则，即此时向量与方向相反。练6．下列各组向量，共线的是（）练7.已知点,且有,则练8．已知点和向量=,若=3,则点B的坐标为练9.设,且有,则锐角5．理解平面向量数量积的含义及其物理意义.例5．已知：、、是同一平面内的三个向量

4、，其中=（1，2）（1）若

5、

6、，且，求的坐标；（2）若

7、

8、=且与垂直，求与的夹角.解：（1）设，由和可得：∴　或∴，或（2）即∴，所以∴∵∴.例6．已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：⊥；（2）若，求的取值范围.解：（1）∵，且、、之间的夹角均为120°，∴∴（2）∵，即也就是∵，∴所以或．练10．已知向量，如果向量与垂直，则的值为（）2练11．平面向量中，已知，且，则向量_________.练12．已知

9、

10、=

11、

12、=2，与的夹角为600，则+在上的投影为。练13．设向量满足，则。练14．已知向量的方向相同

13、，且，则_______。练15．已知向量和的夹角是120°，且，，则=。练16．若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”．依此规定，能说明，，“线性相关”的实数依次可以取；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．