数学美及解题

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1、曹开清趣味数学网http://www.mathsisfun.byethost6.com/数学美与解题江苏省泰州市渔行实验学校曹开清（225300）数学是一个五彩缤纷的美的世界，当我们认识到它时，就可以改变对数学的成见，极大地提高学习数学的积极性.因此在平时的教学中，我们应注意挖掘数学中美的素材，培养学生的审美意识和数学美感.在解数学题时，应以审美的心态去观察、思考，看能否运用美学的方法——简单性方法、和谐性方法、对称性方法、类比性方法、奇异性方法等来解决数学问题，本文对此略作探索.一、从整体代换和正难则反中实现简单美简单性是

2、数学美的基本内容之一，法国哲学家狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答.”例1已知一元二次方程ax＋bx＋c＝0的两个实数根分别为m、n，记p＝m＋n，q＝m＋n，r＝m＋n，求ap＋bq＋cr的值.分析：本题若用根与系数的关系m＋n＝－b/a，mn＝c/a直接代入，运算非常复杂；若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷.解：由方程的定义，得am＋bm＋c＝0，an＋bn＋c＝0，则ap＋bq＋cr＝a(m＋n)＋b(m＋n)＋c(m＋n)＝(am＋bm＋cm)＋(an＋bn

3、＋cn)＝m(am＋bm＋c)＋n(an＋bn＋c)＝m·0＋n·0＝0.例2学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制.为了决定第一名，共需进行多少场比赛？分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛.二、从全局考虑和合理猜测中体现和谐美希腊数学家裴安说过：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美.”第5页共5页曹开清趣味数学网http://www.ma

4、thsisfun.byethost6.com/和谐化原则能帮助我们制定解题策略，为我们指明解题方向.例3求证：2/1·5/4·8/7·…·(3n－1)/(3n－2)＞(n为正整数).分析：不等式左边的结构是有规律的，同时又似乎有点不完整，和谐化原则指引我们把左边的结构补充完整.解：设A＝2/1·5/4·8/7·…·(3n－1)/(3n－2)，B＝3/2·6/5·9/8·…·3n/(3n－1)，C＝4/3·7/6·10/9·…·(3n＋1)/(3n)∵2/1＞3/2＞4/3＞0，5/4＞6/5＞7/6＞0，8/7＞9/8＞10

5、/9＞0，…，＞＞＞0∴A＞B＞C＞0∴A＞ABC＝2/1·3/2·4/3·5/4·6/5·7/6·…·(3n－1)/(3n－2)·3n/(3n－1)·(3n＋1)/(3n)＝3n＋1.即A＞，∴原不等式成立.例4如图，△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC＝1，∠A＝60°，∠ABC＝100°，∠DEC＝80°.求S△ABC＋2S△CDE.分析：△ABC和△CDE都是一般的斜三角形，直接求面积很困难.注意到∠A＝60°是一个特殊角，从和谐化的角度考虑，若把△ABC整体补形为一个正三角形，问题则迎刃而解.解：以AC

6、为一边，∠A为一内角作正三角形ACM，作∠MCB的平分线交MB于F.∵MC＝AC,∠MCF＝∠ACB＝20°,∠M＝∠A＝60°∴△MFC≌△ABC第5页共5页曹开清趣味数学网http://www.mathsisfun.byethost6.com/又∵△CDE∽△CFB，CE＝CB∴S△CDE＝S△CFB∴S△ABC＋2S△CDE＝S△ABC＋S△CFB＝S△ACM＝.三、从沟通信息和发掘内涵中揭示对称美对称美的数学内容可谓俯拾皆是，在数学解题中，对称美的体现能收到优化解题过程的功效.例5化简＋＋的结果为（）（第16届希望杯

7、全国初中数学邀请赛试题）.A.B.C.D.1分析：因原式是a、b、c的轮换对称式，故化简的结果也应是轮换对称式，但选择支A、B、C都不是轮换对称式，因此选D.例6已知a＞0,b＞0，且a＋b＝1，求(a＋)(b＋)的最小值.分析：由题设条件可知a、b具有对称性，因此猜想当a＝b＝时，原式有最小值，可考虑均值设元.解：设(－＜x＜)则(a＋)(b＋)＝显然，当x＝0时，可同时使分子取得最小值25和分母取得最大值4.因而，当a＝b＝时，原式的最小值为.四、从直觉判断和类比中发现相似美数学直觉判断，往往给予面临未能理解的数学对象或

8、关系、结构的问题.在数学解题中，注意类比联想，常可由问题形式的相似，或结构特征的相似去猜测解题思路、方法的相似等.第5页共5页曹开清趣味数学网http://www.mathsisfun.byethost6.com/例7已知a、b、c均为非零实数，且(bc－ab)2－4(ca－bc)(ab－