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1、数学解题的发现美与策略美摘要：本文从一道不等式例题出发，得出“以退求进”策略是发现数学类比题的重耍工具，并在此基础上探讨了数学解题的发现美与策略美.关键词：以退求进；策略美；发现美；柯西不等式数学美就是数学的优美感，庞加菜说：“数学的优美感，不过就是问题的解答适合我们心灵需耍而产生的一种满足感，正因为这种适应性，这个解答可能成为我们的一种工具，所以这种美学上的满足感是和思维、结构紧密相关的.”发现美与策略美都是数学美的基本表现形式.“以退求进”策略是发现数学类比题的重要工具例1a,b,c,d,e均为正数，求证：++++$a+b+c+d+
2、e.分析：若读者不会证明它，可以“以退求进”地构造其简化类比题,以求得发现新的解题方法.华罗庚教授说过：“要善于退，足够地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个诀窍.”例2a,b,c均为正数，求证：++Ma+b+c・求证式的左边三个分式都是轮换对称式，左边每一个分式，还有什么特点？对照左边，右边需要学生有丰富的想象力，爱因斯坦说：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉，严格地说，想象力是科学研究中的实在因素•”左边每一个分式，只含两个字母，而与第三个字母无关.为
3、了用“局部激活整体”的策略，可将不等式的右边分解为三个同型项：a+b+c二++,观察不等式的两边，只需证明一个不等式2?2(a2+b2)$(a+b)2.这可追溯到均值不等式的最简单情形，a2+b2±2ab?(a-b)220,这一证明“非同小可”，同理可得其他两个不等式也成立.三个不等式相加，最后证明了：++$a+b+c・例1的证明：发挥丰富的想象力，在例2中，可将不等式的右边分解为三个同型项：a+b+c二++,类比到例1屮的五个量的和分解成5个同型项：a+b+c+d+e二++++・在例2中，3个量的和分解出两个量之和的一半，有3个同型项
4、，现在是5个量之和，则分解出4个量之和的四分之一，而得5个同型项•类比概念的精确性能使数学推理准确无误，观察不等式的两边，只需证明一个不等式$?4Q2+b2+c2+d2)2(a+b+c+d)2,(a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-a)2$0,也可以用另一种方法证明，构造两组数：a,b,c,d；1,1,1,1,代入柯西不等式之中，(12+12+12+12)(a2+b2+c2+d2)$(1Xa+1Xb+1Xc+1Xd)2?4(a2+b2+c2+d2)上(a+b+c+d)2,即得4个量的和Z平方不大于这4个量的平方和Z4倍.同理，
5、这样5个不等式之和即得所要证的不等式：++++2a+b+c+d+e・请高中学生构造6元或7元的类比题，并证明它.波利亚说：“找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易，这需要经验、鉴别力和好运气•但是，当我们成功地解决了一个好问题之后，我们应当去寻找更多的好问题.好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长.找到一个以后，你应当在周围找找，很可能在附近就有几个・”什么是发现美与策略美波利亚说：“得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强.但是这里质量仍然比数量更为重要，清晰的类比较模糊的相似更有价值.”从例2到例1是清晰的类比
6、还是模糊的类比呢？肯定是清晰的类比.它來自清晰的类比概念，a+b+c与a+b+c+d+e是类比概念，与也是类比概念;与更是类比概念；(a-b)220与(a-b)2+(b~c)2+(c~d)2+(d~a)220仍然是类比概念；还冇类比不等式，最后二元均值不等式(即二元柯西不等式)与四元柯西不等式也是类比不等式等.“类比就是一种相似.”它是从一种特殊到另一种特殊的推理.先猜后证是一种数学思想，“猜”不是瞎猜、胡猜、乱猜，而是要在探索中去猜，要以直觉为先导，以联想为手段，以逻辑为根据，以观察为向导，以思维为核心地去猜.从例1猜想例2(或构造例
7、2)需要一种想象力，更是一种创造，当然也是发现，发现美是构造简单类比题并证明它而感到有成就感，它能使人产生愉悦.所谓“解题策略是高层次的解题方法，是对解题途径的概括性的认识•”具体的解题策略有顺推与倒推、正面与反面、特殊化与普遍化、局部与整体、类比与联想和化归等策略.如“以退求进”也是一种正面与反面的解题策略，它包括从一般退到特殊、从抽象退到具体、从复朵退到简单、从陌生退到熟悉、从整体退到局部、从未知退到已知.反之，从激活的观点说是顺推策略，它包括特殊激活一般、己知激活未知、反面激活正面、熟悉激活陌生、具体激活抽象、简单激活复杂、局部激
8、活整体.以上论述用了几种策略呢？用到“以退求进”策略与“局部激活整体”的策略，当然还冇顺推与倒推、类比与联想和化归等策略.所谓策略美就是在解题过程中，成功地使用策略而能够让认知者感到的一种愉悦.不同形式的柯
