构造法求数列通项公式

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1、构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。例1在数列中，=，=（），求数列通项公式.解析：由an+1=得，an+1an=3an+1-3an=0，两边同除以an+1an得，，设bn=，则bn+1-bn=，根据等差数列的定义知，数列

2、｛bn｝是首相b1=2，公差d=的等差数列，根据等差数列的通项公式得bn=2＋（n-1）=n＋∴数列通项公式为an=评析：本例通过变形，将递推公式变形成为形式，应用等差数列的通项公式，先求出的通项公式，从而求出的通项公式。例2在数列｛an｝中，Sn是其前n项和，且Sn≠0，a1=1，an=(n≥2)，求Sn与an。解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1代入an=得，Sn-Sn-1=，变形整理得Sn-Sn-1=SnSn-1两边除以SnSn-1得，-=2，∴｛｝是首相为1，公差为2的等差数列∴=1+2（n-1）=2n-1,∴Sn=(n≥2),n=1也适合，

3、∴Sn=(n≥1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-，n=1不满足此式，∴an={评析：本例将所给条件变形成，先求出的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。例3在数列｛an｝中，a1=2，an=an-12(n≥2)，求数列｛an｝通项公式。解析：∵a1=2，an=an-12(n≥2

4、)＞0，两边同时取对数得，lgan=2lgan-1∴=2，根据等比数列的定义知，数列｛lgan｝是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lgan=2n-1lg2=∴数列通项公式为an=评析：本例通过两边取对数，变形成形式，构造等比数列，先求出的通项公式，从而求出的通项公式。例4在数列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列｛an｝通项公式。解析：设an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B为待定系数），展开得an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得{∴{∴an+1+（n+1）+=4（an+

5、n+），根据等比数列的定义知，数列｛an+n+｝是首项为，公比为q=3的等比数列，∴an+n+=×3n-1∴数列通项公式为an=×3n-1-n-评析：待定系数法是构造数列的常用方法。例5在数列｛an｝中，a1=1，an+1an=4n，求数列｛an｝通项公式。解析：∵an+1an=4n∴anan-1=4n-1两式相除得=4，∴a1，a3，a5……与a2，a4，a6……是首相分别为a1，a2，公比都是4的等比数列，又∵a1=1，an+1an=4n，∴a2=4∴an={练习：1.已知数列满足，，求解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，解：由条件

6、知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，2.数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，∴数列{a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列∴a－2=－（）∴a=2－（）3.数列中，，求数列的通项公式。解：由得设比较系数得，解得或若取，则有∴是以为公比，以为首项的等比数列∴由逐差法可得===4.设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.解：，∴，∵，∴.即是以2为公差的等差数列，且.∴（1）通过分解常数，可转化为特殊数列

7、{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。（2）通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.（1）构

8、造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数