资源描述：
《用构造法求数列通项公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、雅QQ1240008362用构造法求数列的通项公式在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。例如：中，若求an+4,即＝４
2、，｝是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{an}的通项。练习：1)数列{an}中，an≠0，且满足求an2)数列{an}中，求an通项公式。3)数列{an}中,求an.二．构造形如的数列。例：正数数列{an}中，若解：设练习：已知正数数列{an}中，,求数列{an}的通项公式。三．构造形如的数列。例：正数数列{an}中，若a1=10,且求an.解：由题意得：，即5秀雅资料雅QQ1240008362. 即练习：（选自2002年高考上海卷）数列{an}中，若a1=3,,n是正整数，求数
3、列{an}的通项公式。一．构造形如的数列。例：数列{an}中，若a1=6,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式。解：an+1+1=2an+2,即an+1+1=2（an+1）设bn=an+1,则bn=2bn-1则数列{bn}是等比数列，公比是2,首项b１=a１+1＝7,，构造此种数列，往往它的递推公式形如：。如：an+1＝can+d,设可化成an+1+x=c(an+x),an+1=can+(c-1)x用待定系数法得： (c-1)x＝d∴ x=.又如：Ｓn+an=n+2,则 Ｓn-1+an-1
4、=n+1,二式相减得：Ｓn－Ｓn-1+an－an-1=１，即an+an－an-1=１，∴2an－an-1=１，an=an-1+.如上提到bn=an＋d=an–1练习：1.数列{an}满足an+1=3an+2,求an2.数列{an}满足Ｓn+an=2n+1,求an二．构造形如的数列。例：数列{an}中，若a1=１，a２=3,an+2+4an+1-5an=0(nN),求an。解：an+2+4an+1-5an=0得：an+2－an+1=-5（an＋１－an）设bn=an＋１－an，则数列{bn}是等比数列，公
5、比是-5,首项b１=a2-a1＝2,∴an＋１－an=2•(-5)n-1即a２－a１=2•(-5)a３－a２=2•(-5)２a４－a３=2•(-5)３┄an－an－１=2•(-5)n-2以上各式相加得：an－a１=2•［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］5秀雅资料雅QQ1240008362即：an－a１=2•，即，（n当递推公式中，an＋１与an的系数相同时，我们可构造bn=an＋１－an，然后用叠加法得：b1+b2+b3+b4+┄+bn=an-a1通过求出数列｛bn｝前n-1项和的
6、方法，求出数列{an}的通项公式。1)当递推公式中形如:an+1=an+an+b;an+1=an+qn(q≠1);an+1=an+qn+an+b等情形时，可以构造bn=an＋１－an,得:bn=an+b；bn=qn;bn=qn+an+b。求出数列前n-1项的和Tn-1,Tn-1=;Tn-1=；Tn-1=+即：an－a１=;an－a１=;an－a１=+从而求出an=a１+;an=a１+;an=a１++。2）当递推公式中形如:an+1=an+；an+1=an+；an+1=an+等情形可以构造bn=an＋１－
7、an,得:：bn=；bn=；bn=即bn=；bn=；bn=从而求出求出数列前n-1项的和Tn-1,Tn-1=；Tn-1=；Tn-1=即：an－a１=;an－a１=;5秀雅资料雅QQ1240008362an－a１=从而求出an=a１+;an=a１+;an=a１+练习：1）数列{an}中，若a1=1，an+1-an=2n,求通项an.2）数列{an}中，若a1=1，an+1-an=2n,求通项an.3)数列{an}中，若a1=2，，求通项an.一．构造形如的形式。例：数列{an}中，若a1=1，，求an.解
8、：由得：∴，，，…用累乘法把以上各式相乘得：∴。当递推公式形如：；；等形式，我们可以构造。可得:;;.然后用叠乘法得：。令数列{bn}的前n-1项的积为An-1,则；;从而得到：；；；；。练习：1）数列{an}中，若a1=2，，求an.二．构造形如的形式。例：数列{an}中，a1=2，Sn=4an-1+1，求an.解：Sn=4an-1+1，Sn-1=4an-2+1二式相减：Sn-Sn-1=4an-1-4an-2an=4an-1-4an-2a
