用构造法求数列的通项公式

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1、用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1（:06年福建高考题）数列a中,a1,a2a1则a()n1n1nnnnnn1A．2B．21C．21D．2解法1：a2a1n1na12a22(a1)n1nn又a121a1n1a12[来源:学。科。网]

2、na1是首项为2公比为2的等比数列nn1nna1222,a21,所以选Cnn解法2归纳总结：若数列a满足apaq(p1,q为常数），则令ap(a)来构nn1nn1n造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。例2：数列a中，a1,a3,a3a2a，则a。n12n2n1nn解：aa2(aa)n2n1n1naa2aa为首项为2公比也为2的等比数列。21nn1n1aa2，（n>1）nn1n>1时a

3、(aa)(aa)(aa)annn1n1n2211n1n22221n12n2112显然n=1时满足上式na21n小结：先构造aa等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，n1n例3：已知数列a中a5,a2,a2a3a,(n3)求这个数列的通项公式。n12nn1n2解：an2an13an2aa3(aa)nn1n1n2又aa7,aa形成首项为7，公比为3的等比数列，12nn1

4、n2则aa73………………………①nn1又a3a(a3a)，nn1n1n2a3a13，a3a形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列21nn1n2则a3a(13)(1)………………………②nn1n1n1①3②4a7313(1)n7n113n1a3(1)n44小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。nn1例4：设数列a的前项和为S,若2a2S成立，(

5、1)求证：an2是等比数列。nnnnn(2)求这个数列的通项公式证明：(1)当n1,ba2(b1)a,a2[来源:学。科。网Z。X。X。K]111n又ba2(b1)S………………………①nnn1ba2(b1)S………………………②n1n1n②—①baba2(b1)an1nn1naba2n1nn当b2时，有a2a2n1nnnnn1a(n1)22a2(n1)22(an2)n1nn1

6、1又a211n1an2为首项为1，公比为2的等比数列，n(2)n1n1n1an22,a(n1)2nn小结：本题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。n1例5：数列a满足a3,a2a32，则an1n1nnnn1n1n1A．(3n1)2B．(6n3)2C．3(2n1)2D．(3n2)2aan1n1n解：a2a32,3n1

7、nn1n22an1ana133,又n1n2222an3n构成了一个首项这，公差为3的等差数列，22an33(n1)33nn222n13n1a22(3n)(6n3)2所以选B。n2aann1小结：构造等比数列，注意形，当nn1时，变为。nn1222例6：已知函数f(x)(x2),(x0)，又数列a中a2，其前n项和为n1S,(nN)，对所有大于1的自然数n都有Sf(S)，求数列a的通项公式。nnn1n22解

8、：f(x)(x2),Sf(S)(S2)nn1n1SS2,SS2nn1nn1Sa211Sn是首项为2，公差为2的等差数列。2S2(n!)22n,S2n。nn22n2时，aSS2n2(n1)4n2nnn1且当n1时，a2412符合条件1通项公式为a4n2n例7：（2006山东高考题）2已知a2，点（a,a）在函数f(x)xx的图象上，其中n1,2,3,求数列a1nn1n的通项公式。2解：f(