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时间:2018-10-17
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1、第2模块第11节[知能演练]一、选择题1.设f′(x)是函数f(x)的导数,y=f′(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )解析:由y=f′(x)的图象可知,当x<0时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增;当02、cosx>0,∴f(x)在(0,2π)上递增.故选A.答案:A3.若a>3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰有( )A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根解析:令f(x)=x3-ax2+1,则f′(x)=3x2-2ax=3x(x-a).由f′(x)=0,得x=0或x=a(∵a>3,∴a>2).∴当03、.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则( )A.a>-3B.a<-3C.a>-D.a<-解析:y′=a·eax+3=0,当a=0时,显然不合题意,∴a≠0.∴eax=-.∴x=ln(-).由题意,得ln(-)>0,∴∴a<-3.故应选B.答案:B二、填空题5.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=________.解析:f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f′(x)=0,得x=±2.∵f(-3)=17,f(34、)=-1,f(-2)=24,f(2)=-8,∴M-m=f(-2)-f(2)=32.答案:326.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数m的取值范围是________.解析:f′(x)==,令f′(x)>0,∴-10,5、∴x>-或-6、(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当x>1时,x2+lnx0),若a≤0时,f′(x)≥0恒成立,∴函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).若a>0时,令f′(x)>0,得x>,∴函数f(x)的单调增区间为(,+∞),减区间为(0,).(2)证明:设F(x)=x3-(x2+lnx),故F′(x)=2x2-x-.∴F′(x)=.∵x>1,∴F′(x)>0.∴F(x)在(1,+∞)上为增函数.又F(x)在[1,+∞)上连续,F(1)=>0,∴F(x)>在(17、,+∞)上恒成立.∴F(x)>0.∴当x>1时,x2+lnx0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′(x)=(x-2)·ex>0解得:x>2.答案:D2.(2009·山东济宁8、一模)若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )A.(0,1)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(0,)解析:∵f′(x)=3x2-6b,由题意,函数f′(x)图象如右图.∴即得0
2、cosx>0,∴f(x)在(0,2π)上递增.故选A.答案:A3.若a>3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰有( )A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根解析:令f(x)=x3-ax2+1,则f′(x)=3x2-2ax=3x(x-a).由f′(x)=0,得x=0或x=a(∵a>3,∴a>2).∴当03、.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则( )A.a>-3B.a<-3C.a>-D.a<-解析:y′=a·eax+3=0,当a=0时,显然不合题意,∴a≠0.∴eax=-.∴x=ln(-).由题意,得ln(-)>0,∴∴a<-3.故应选B.答案:B二、填空题5.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=________.解析:f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f′(x)=0,得x=±2.∵f(-3)=17,f(34、)=-1,f(-2)=24,f(2)=-8,∴M-m=f(-2)-f(2)=32.答案:326.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数m的取值范围是________.解析:f′(x)==,令f′(x)>0,∴-10,5、∴x>-或-6、(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当x>1时,x2+lnx0),若a≤0时,f′(x)≥0恒成立,∴函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).若a>0时,令f′(x)>0,得x>,∴函数f(x)的单调增区间为(,+∞),减区间为(0,).(2)证明:设F(x)=x3-(x2+lnx),故F′(x)=2x2-x-.∴F′(x)=.∵x>1,∴F′(x)>0.∴F(x)在(1,+∞)上为增函数.又F(x)在[1,+∞)上连续,F(1)=>0,∴F(x)>在(17、,+∞)上恒成立.∴F(x)>0.∴当x>1时,x2+lnx0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′(x)=(x-2)·ex>0解得:x>2.答案:D2.(2009·山东济宁8、一模)若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )A.(0,1)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(0,)解析:∵f′(x)=3x2-6b,由题意,函数f′(x)图象如右图.∴即得0
3、.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则( )A.a>-3B.a<-3C.a>-D.a<-解析:y′=a·eax+3=0,当a=0时,显然不合题意,∴a≠0.∴eax=-.∴x=ln(-).由题意,得ln(-)>0,∴∴a<-3.故应选B.答案:B二、填空题5.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=________.解析:f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f′(x)=0,得x=±2.∵f(-3)=17,f(3
4、)=-1,f(-2)=24,f(2)=-8,∴M-m=f(-2)-f(2)=32.答案:326.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数m的取值范围是________.解析:f′(x)==,令f′(x)>0,∴-10,
5、∴x>-或-6、(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当x>1时,x2+lnx0),若a≤0时,f′(x)≥0恒成立,∴函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).若a>0时,令f′(x)>0,得x>,∴函数f(x)的单调增区间为(,+∞),减区间为(0,).(2)证明:设F(x)=x3-(x2+lnx),故F′(x)=2x2-x-.∴F′(x)=.∵x>1,∴F′(x)>0.∴F(x)在(1,+∞)上为增函数.又F(x)在[1,+∞)上连续,F(1)=>0,∴F(x)>在(17、,+∞)上恒成立.∴F(x)>0.∴当x>1时,x2+lnx0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′(x)=(x-2)·ex>0解得:x>2.答案:D2.(2009·山东济宁8、一模)若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )A.(0,1)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(0,)解析:∵f′(x)=3x2-6b,由题意,函数f′(x)图象如右图.∴即得0
6、(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当x>1时,x2+lnx0),若a≤0时,f′(x)≥0恒成立,∴函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).若a>0时,令f′(x)>0,得x>,∴函数f(x)的单调增区间为(,+∞),减区间为(0,).(2)证明:设F(x)=x3-(x2+lnx),故F′(x)=2x2-x-.∴F′(x)=.∵x>1,∴F′(x)>0.∴F(x)在(1,+∞)上为增函数.又F(x)在[1,+∞)上连续,F(1)=>0,∴F(x)>在(1
7、,+∞)上恒成立.∴F(x)>0.∴当x>1时,x2+lnx0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′(x)=(x-2)·ex>0解得:x>2.答案:D2.(2009·山东济宁
8、一模)若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )A.(0,1)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(0,)解析:∵f′(x)=3x2-6b,由题意,函数f′(x)图象如右图.∴即得0
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