排列与组合2_精讲与习题解析(1)

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1、排列与组合复习分类计数原理完成一件事,有n类办法,在第1类办法中,有m1种不同的方法,在第2类办法中,有m2种不同的方法……在第n类办法中,有mn种不同的方法,则完成这件事有N=m1+m2+……+mn种不同的方法分步计数原理完成一件事,需要分成n个步骤,在第1步中,有m1种不同的方法,在第2步中,有m2种不同的方法……在第n步中,有mn种不同的方法,则完成这件事有N=m1×m2×……×mn种不同的方法分类计数原理与分步计数原理之间的区别与联系1．分类计数原理中各类方法之间是互相独立的，每一类每一种方法都能直接完成这件事情，分步计数原理中，各个步骤之间是相互联系

2、的，依次完成所有步骤才能完成这件事情．2．分类计数原理的重点在一个“类”字，分步计数原理的重点在一个“步”字，应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，在各类办法中彼此是独立的，并列的．应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的连续性，做一件事需分成若干个步骤，每个步骤相继完成，最后才算做完整个工作练习1：书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的

3、取法？答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．N=m1×m2×m3=90．N=3×5＋3×6＋5×6=63．练习2：由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．答：可以组成100个三位整数．练习3：求下列集合的元素个数．(1)M={(x，y)

4、x，y∈N*，x

5、+y≤6}(2)H={(x，y)}

6、x，y∈N*，1≤x≤4，1≤y≤5}解 ：(1)分5类：(i)x=1，y有5种取法；(ii)x=2，y有4种取法；(iii)x=3，y有3种取法；(iv)x=4，y有2种取法；(v)x=5，y只有一种取法．因此M共有5+4+3+2+1=15个元素．(2)分两步：(i)先选x，有4种可能；(ii)再选y有5种可能．由乘法原理，H共有4×5=20个元素．从n个不同的元素中，任取A个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出A个元素的一个排列。排列与排列数所有排列的个数叫做排列数，用表示。判断下列几个问题是不是排列

7、问题?①从班级5名优秀团员中选出3人参加上午的团委会②1000本参考书中选出100本给100位同学每人一本③1000名来宾中选20名贵宾分别坐1～20号贵宾席解79(r+36)(r+36)1）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有个。2）用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，共有个。3）五名同学排成一排，其中的甲乙两同学必须站在两端，共有种不同排法。4810012例2例3若,则方程可表示多少个焦点在x轴上的相异椭圆.例4从1到6这六个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数,且个位和百位必须是奇数,这样的五位数共有多少个?

8、万千百十个万千百十个万千百十个解法一:N==144个解法二:N=-=144个用1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数。(1)十位数字比个位数字大的数有多少个？(2)将这些数字按从小到大的顺序排列,2351是第几位？有条件的排列问题有条件的排列问题例5七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。a)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有种排法，而三个女孩之间有种排法，所以不同的排法共有：（种）。捆绑法有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，

9、现将这七个小孩站成一排照相留念。b)若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）说一说捆绑法一般适用于问题的处理。相邻有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。c)若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有种方法，所以共有：（种）排法。有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。c)若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排

10、法？插空法有条件的排列问题七个家庭一起