排列、组合习题精选精讲.doc

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1、“解排列、组合应用问题”的思维方法考点1考查两个原理直接应用例1（涂色种花问题）：如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解法一（分步法）：如题图分四个步骤来完成涂色这件事需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3

2、种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．解法三（分类法）：完成涂色的方法分为两类，第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有＝120种涂法；第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区域，共＝60种涂法．由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．方法总结：对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不相邻可同色.法2根据用色多少分类法.变式1：如图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______

3、__种．(以数字作答)答案：72考点2考查特殊元素和特殊位置优先策略(优限法)例2：从1，2，3，5，7，中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重担数字的四位数，其中通报被5整除的四位数共有个(用数字作答）解析：对于含有特殊元素的排列组合问题，一般应优先安排特殊位置上的特殊元素，再安排其他位置上的其他元素。解：合条件四位数的个位必须是0、5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在首位，0排在十位、百位和不含0为标准分为三类：①0排在个位能被0整除的四位数有个②0排在十位、百位，但5必须排在个位

4、有=48个③不含0，但5必须排在个位有个由分类计数原理得所求四位数共有300个。例：7位同学站成一排．甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(特殊元素分析)解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有种；第二步余下的5名同学进行全排列有种，则共有=240种排列方法练习：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.(特殊位置分析)解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置，先排末位共有，然后排首位共有，最后排其它位置共有，由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也

5、是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习：四名男生和三名女生站成一排：(1)一共有多少种不同的排法？(2)甲站在中间的不同排法有多少种？(3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？带有限制的排列题，既可以从元素出发分析，也可以从位置出发分析,还可以使用排除法。解（1）因为男女生共7人，不受任何条件限制，故共有种(2)因甲站在中间已确定，而其余6人可站

6、在除中间位置之外的六个不同位置上，所以共有种(3)甲、乙二人站在两端，这二人是特殊元素，先考虑元素，甲、乙二人站在两端的站法有种，再考虑其余5人在中间5个不同位置的站法有种，根据分步计数原理，甲、乙二人站在两端的不同站法有=240种(4)解法一：直接法（特殊元素分析）首先考虑特殊元素甲，甲在中间5个位置任选一个有种排法，再考虑一般元素的排法有种，由分布计数原理得共有=3600种。解法二：直接法（特殊位置分析）首先考虑特殊位置排头和排尾的排法，由于甲不能在两端，因此只能从其余6人中任选二人排在两端有种排法，再考虑一般位置的排法有种，所以共有

7、排法=3600种。解法三：间接法（排除法）不考虑条件限制，男女生共7人的不同站法只有种，如果甲站在排头有种不同站法，由排除法知，甲不排头，也不排尾的排法共有种。练习：有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？=1440考点3：相邻元素捆绑策略(捆绑法)例：有件不同的产品排成一排，若其中A、B两件不同的产品排在一起的排法有48种，则解析：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个大元素，与其他元素一起进行了全排列，然后瑞对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻

8、排列问题的“捆绑”方法。解：将A、B两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有种排法；对于上述的每种排法，A、B两件产品之间又有种排法，由分步计数原理得满足条件的不同排法有=48种，故例：7人站