第57讲 排列与组合

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1、第讲排列与组合本节主要有：排列组合公式及应用；处理排列组合问题的常用方法：如插空法、捆绑法等；可重复排列及圆排列公式等基本内容．A类例题例1四个不同的小球放入编号1、2、3、4、的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有____种。分析排列组合中诸如把教师医生分到各所学校；把不同的小球放入盒中等问题都可以归类为分组问题，分组问题解题的原则是：“分组先分堆”．解把4个球分成“2、1、1”三堆，有种分法，把三堆球分别放入四个盒子的任三个中，有种放法，由乘法原理，恰有一个空盒的放法共有·=144种．说明：本题也可以分类讨论求解，若1号盒空，2号盒放二个球，3、4号盒各放一个球有=12种放

2、法；同理，若1号盒空，3号盒放2个球，2、4号盒各放一个球也是12种放法；1号盒空，4号盒放2个球，2、3号盒各放一个球同样是12种放法。所以，1号盒空共有12×3=36种放法。故满足题设的总放法种数为4×36=144种。例26名同学排成一排。（1）其中甲、乙两个必须排在一起的不同排法有______种.(1997年全国高考题)（2）甲乙两人不能相邻的排法有______种．分析排列组合中，处理“在与不在”、“邻与不邻”、“接与不接”等问题时，常常利用捆绑法或插空法．解⑴把甲、乙两人看作1人，这样6个人可看成5个人，共有种排法，甲、乙两人有2种顺序，故共有·种．⑵先排其他4名同

3、学，有种，再把甲乙两人插入到4名同学的5个空挡中有种，所以共有·=480种．12情景再现1．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方式共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种(1998年全国高考题)2．某校从5名优秀学生干部中选出4人分别参加“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营，要求每一个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案有（）种A．90B．180C．270D．540B类例题例3在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数

4、是A57B49C43D37(1998年全国数学联赛)分析正方体中，共线三点组的两个端点可能有三种情形：①两端点都是顶点；②两端点都是面的中心；③两端点都是棱的中点，除此之外没有别的情形．解两端点都是顶点的共线组有个，两端点都是面的中心的共线组有3个，两端点都是棱的中点的共线组有个。所以满足条件的共线组共有49个．说明：分类讨论是解决较复杂的排列组合问题的常用思想，分类讨论的关键是找到合适的分类标准，做到不重不漏。例4某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____

5、_种.12（2003年江苏高考题）分析本题是近几年出现的排列组合问题中难度最大的问题之一。基本思想是运用分步记数原理。解如图所示，把花坛视为一个圆环，先排区域1，有种.由于1与其余5个位置均相邻，故其余5个位置共有3种颜色可选．由任两个相邻位置不能同色，故必有2种颜色各种两块地，第一种颜色只有一块地，有种方法，另两种颜色种4个位置，只有两种选择，故共有种.例5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，上述3名选手之间的比赛场数是A．0B．1C．2D．3（1999全国联赛）分析3名选手共比赛

6、了6场，设他们之间比赛了x场，故只有这3名选手参加的比赛共6－x场．解设三名选手之间的比赛为x场，共有n名选手参赛，由题得50=,即，由于0≤x≤3，经检验知，仅当x=1时，n=13为正整数，故选B．说明求解简单的二元一次不定方程时，可逐个代入检验是否满足题设.例6四面体的顶点和棱的中点共10个点，取4个不共面的点，不同的取法有（）A．150种B．147种C．144种D．141种分析从所有的取法中减去共面的取法。其中4点共面的情形有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱中点，共6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，两组

7、对边分别平行于四面体相对的两条棱，有3种．解由上述分析知共有种．12说明“排除法”是常用方法之一，其难点在于排除那些不合条件的组合。情景再现3．如图，点p1，p2，…，p10分别是四面体顶点或棱的中点。那么，在同一平面上的四点组(p1，pi，pj，pk)(1