第6讲.排列与组合.学生版

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1、排列与组合高考要求要求层重难点次分类加法计数原理、分分类加法计数原理、分步乘法计数原理B步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法加法原理、用分类加法计数原理计数原理；乘法原理或分步乘法计数原理②会用分类加法计数原理或分步乘法C解决一些简单的实际计数原理分析和解决一些简单的实际问问题题．排列、组合的概念B排列与组合排列数公式、组合数公①理解排列、组合的概念．C排列与组合式②能利用计数原理推导排列数公式、组用排列与组合解决一合数公式．C③能解决简单的实际问题．些简单的实际问题知识内容1．基本计数

2、原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在1第二类办法中有m种方法，……，在第n类办法中有m种不同的方法．那么完成这件2n事共有N=m+m+L+m种不同的方法．又称加法原理．12n⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m种不同的方1法，做第二个步骤有m种不同方法，……，做第n个步骤有m种不同的方法．那么完2n成这件事共有N=m×m×L×m种不同的方法．又称乘法原理．12n⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事

3、的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．3年级·第6讲·学生版page1of172．排列与组合⑴排列：一般地，从n个不同的元素中任取mm(≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n个不同的元素中取出mm(≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同m元素中取出m个元素

4、的排列数，用符号A表示．nm排列数公式：An=nn(−1)(n−2)L(nm−+1)，m，n∈N+，并且m≤n．全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示．规定：0!1=．⑵组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．组合数：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个m不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号

5、C表示．nmnn(−1)(n−2)L(nm−+1)n!组合数公式：Cn==，mn,∈N+，并且m≤n．m!mnm!(−)!组合数的两个性质：性质1：mnm−mmm−10C=C；性质2：C=C+C．（规定C=1）nnn+1nnn3．排列组合问题的解题策略排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列

6、或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．具体的解题策略有：⑴特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；⑵分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．⑶排除法，从总体中排除不符

7、合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．⑷捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．⑸插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．⑺插板法：n个相同元素，分成mm(≤n)组，每组至少一个的分组问题——把n个元素m−1排成一排，从n−1个空中选m−1个空，各插一个隔板，有C．n−13年级·第6讲·学生版page2of17⑺分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地

8、平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！⑻错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n=2，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．典例分析版块一．两个基本原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代