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1、对一道暑假作业题的发散思考近円闲暇，翻看八年级暑假作业，在发现规律框题中见到一题，经探究有一些心得.原题设a+{5=1,a3=-l.设Sl=a+0,S2=a2+32,S3=a3+33,Sn=an+3n.(1)试确定S2=,S3=,S4=；(2)通过观察，归纳，推断Sn.(3)由Sn求a10+P10的值.解析此题若由九年级或高中学生思考轻而易举，但八年级学生仅有整式乘法和因式分解知识垫底，那就有点意思了.观察发现己知的式子a+P，aP与待求的式子a2+32恰好与完全平方公式(a+p)2=a2+2aP+P2冇内在的联系.由公式易得a2+f32=(a+)2-2a3=12-2X(-1)=3.沿着这一思
2、路继续能推导出S3、S4吗？即a3+33与)3和a3(14+34与((1+3)4和(10仍有类4以于(a+P)2=a2+2ap+32的关系吗？显然，这己经超出八年级学生的知识范围了.换个角度，考虑a3+P3中的a3、P3的指数比a2+P2中的a2、P2的指数均大1，若给a2+P2各项分别乘以a、P就会得到a3、P3.我们计算(a2+02)(a+3)结果是a3+03+a20+a02，因此a3+33=(a2+32)(a+P)-(a23+aP2)=(a2+32)(a+3)-a3(a+3)=3X1-(-1)Xl=4.S4能这样推算吗？经验证S4=a4+34=(a3+33)(a+3)-a3(a2+32)
3、=4X1-(-1)X3=7.归纳SI,S2,S3，S4可得Sn=Sn-l+Sn-2.至此，(1)、(2)已解决，(3)的解答用公式Sn=Sn-l+Sn-2.S10=a10+P10=S9+S8根据Sl=l,S2=3容易推得S8=47,S9=76所以S10=S9+S8=76+47=123.作为一个八年级数学问？｝，解答已完毕.就此打住，实在可惜.我们知道，两个已知式子是熟知的韦达定理表达式，a、是一元二次方程乂2_(a+P)x+aP=0的两个根.在本题中，a+P=l，aP=-1,a+P•与aP均为整数且互为相反数.从这一点出发思考以下问题.•(1)a>P换做其他互为相反数的整数时，原题如何解答？仍
4、冇Sn=Sn-l+Sn-2吗？(1)将与a3的值互换，情况如何呢？(2)ci+P、aP的值能推广到全体整数、有理数、实数吗？另一方面，解答原题知道，Sl，S2,S3,…，Sn的值构成一个斐波那契数列，Sr^Sn-l+Sn-2是它的递推公式.从数列的角度考虑，将a+P与a3互为相反数的关系变化成其他关系，如相等关系，倒数关系，方幂关系等，此时SI,S2,S3,…，Sn确定的值还构成数列吗？它的递推公式如何？1从方程角度讨论互为相反数的d+P与aP的值的取值范围1.1a+P=2，aP=-2,Sl=a+p,S2=a2+32,S3=a3+33,…，Sn=an+3n.试推断Sl，S2，S3的值，Sn-a
5、n+3n=?解析仿照原题，S2=a2+32=(a+3)2~2a3=4~2X(-2)=8；S3=a3+33=(ci2+P2)(a+3)-a3(ci+P)=8X2-2X(-2)=2O=S1(S2+S1),由此归纳Sn二an+Pn二SI(Sn-l+Sn-2).12若a+p=-2,ap=2Sl=a+3,S2=a2+32,S3=a3+33,…，Sn=an+Pn.试确定Sn.解析Sl=a+P=-2；S2=a2+32=(ex+P)2-2a3=S21+2S1二SI(Sl+2):-2X(-2+2)二0;S3=a3+33=(a2+32)(a+3)-a{3(a+p)=S2S1+S21=S1(S2+S1)=-2[0+
6、(-2)]=4.故Sn=Sl(Sn-l+Sn-2).12若a+3=m，a3=-mSl=a+3,S2=a2+32,S3二a3+33,…，Sn=an+3n.仿前仍可推得Sn=Sl(Sn-l+Sn-2),在这里m的取值范围是什么？由a+0=m得P=m-a,代入ap=-m中，得a2~ma-m=0,于是A=(-m)2-4(~m)=m2+4m，所以a=m±m2+4m2,所以P=m-a=2m-(m±m2+4m)2=mm2+4m2,所以，aI=m+m2+4m2,3I=m-m2+4m2,a2=m-m2+4m2,32=m+m2+4m2.由以上可以看出：a、P值有两组，m的值取决于a、P.I.当m2+4m=0,即m
7、=0或m=_4时，a、13均为整数，目.有相等的两组值，即a1=0,31=0,a2=-2,P2=-2.II.当m2+4m〉0时，a、｛3均为实数，且它们互为有理化因式.讨论不等式m2+4m〉0的解集：m2+4m〉0转化为①m〉0,m+4〉0,或②m〈0,m+4〈0.①式解集为m〉0,②式解集为m〈-4,因此m2+4m>0的解集为m〉0或m<-4.II.m2+4m①m〈0,m+4>0,或②m〉0,m
