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1、对一道暑假作业题的发散思考近FI闲暇，翻看八年级暑假作业，在发现规律框题中见到一题，经探究有一些心得.原题设a+B=1,a8二-1•设S1二a+B,S2=a2+B2,S3=a3+B3,…,Sn=an+Bn・(1)试确定S2二,S3=,S4=；(2)通过观察，归纳，推断Sn.(3)由Sn求a10+B10的值.解析此题若由九年级或高中学生思考轻而易举，但八年级学生仅有整式乘法和因式分解知识垫底，那就有点意思了•观察发现已知的式子a+B,aB与待求的式子a2+B2恰好与完全平方公式(a+0)2=a2+2aB+B2冇内在的联系.由公式易得a2+B2二(a+B)2-2a[3=1
2、2-2X(-1)=3.沿着这一思路继续能推导出S3、S4吗？即a3+33与(a+B)3和aB、a4+34(a+3)4^FlaP仍有类彳以于(a+B)2=a2+2aB+B2的关系吗？显然，这已经超出八年级学生的知识范围了.换个角度，考虑a3+33中的a3、03的指数比a2+B2中的a2、B2的指数均大1,若给Q2+B2各项分别乘以a、B就会得到。3、B3•我们计算(a2+B2)(a+B)结果是a3+B3+a2B+aB2,因此a3+33=(a2+P2)(a+B)-(a23+aB2)二(a2+B2)(a+B)-aB(a+3)=3X1-(-1)Xl=4.S4能这样推算吗？经验
3、证S4二a4+B4二(a3+B3)(a+B)-aB(a2+32)=4X1-(-1)X3=7.归纳SI,S2,S3,S4可得Sn=Sn-l+Sn-2・至此,(1)、(2)已解决，(3)的解答用公式Sn=Sn-l+Sn-2.S10=a10+B10=S9+S8根据Sl=l,S2=3容易推得S8=47,S9=76所以S10二S9+S8二76+47二123.作为一个八年级数学问？｝,解答已完毕•就此打住，实在可惜•我们知道，两个已知式子是熟知的韦达定理表达式，a、B是一元二次方程*2-(a+B)x+aB=0的两个根•在本题中，a+P=1,aP=~La+B与aB均为整数且互为相反
4、数•从这一点出发思考以下问题：(1)a、B换做其他互为相反数的整数a寸，原题如何解答？仍冇Sn=Sn-l+Sn-2吗？(2)将a+B与aB的值互换，情况如何呢？(3)a+B、aB的值能推广到全体整数、有理数、实数吗？另一方面，解答原题知道，SI,S2,S3,…，Sn的值构成一个斐波那契数列，Sn=Sn-l+Sn-2是它的递推公式•从数列的角度考虑，将a+0与aB互为相反数的关系变化成其他关系，如相等关系，倒数关系，方幕关系等，此时SI,S2,S3,…，Sn确定的值还构成数列吗？它的递推公式如何？1从方程角度讨论互为相反数的a+0与a(3的值的取值范围1.1a+B二2,
5、aB二-2,S1二a+B,S2=a2+B2,S3二a3+B3,…，Sn二an+Bn・试推断SI,S2,S3的值,Sn二an+Bn二？解析仿照原题，S2=a2+32=(a+B)2-2a3=4~2X(-2)=8；S3二a3+B3二(ci2+B2)(a+f3)-aB(ci+B)=8X2-2X(-2)二20二SI(S2+S1),由此归纳Sn=an+Pn=Sl(Sn-l+Sn-2).12若ci+B二-2,ciB二2SI二a+B,S2=a2+32,S3二a3+B3,…，Sn=a门+8口・试确定5口・解析Sl=a+B二-2；S2二a2+B2二(ci+B)2-2aB=S21+2S1二
6、SI(Sl+2)二-2X(—2+2)=0；S3=a3+33=(a2+P2)(a+P)-aB(a+{3)二S2S1+S21二SI(S2+S1)二-2[0+(-2)]=4.故Sn=Sl(Sn-l+Sn-2)・13若a+0=m,a0=-mSI二a+B,S2=a2+32,S3二a3+B3,…，Sn二an+Bn・仿前仍可推得Sn=Sl(Sn-l+Sn-2),在这里m的取值范围是什么？由a+B二m得B=m-a,代入aB=~m中，得a2~ma-m=0,于是A二(-m)2~4(~m)=m2+4m,所以a=m±m2+4m2,所以B二m-a二2m-(m±m2+4m)2=mm2+4m2,所
7、以，a1二m+m2+4m2,BI=m-m2+4m2,a2=m-m2+4m2,B2=m+m2+4m2・由以上可以看出：a、B值有两组，m的值取决于a、B・I•当m2+4m=0,即m=0或m二-4时，a、B均为整数，但有相等的两组值，即a1=0,P1=0,a2二-2,B2二一2.II•当m2+4m>0时，a、B均为实数，且它们互为有理化因式•讨论不等式m2+4m>0的解集：m2+4m>0转化为@m>0,m+4>0,或②m〈0,m+4<0.①式解集为m〉0,②式解集为m<-4,因此m2+4m>0的解集为m>0或水-4・III.m2+4m①m〈0,m+4>0
