经济数学基础讲义 第7章 多元函数微分学.doc

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1、第4章多元函数微分学4.2.1二元函数的概念多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较．一元函数是含有一个自变量的函数：。多元函数是含有多个自变量的函数，例如：二元函数：，三元函数：等等．例1如果圆锥体底半径为,高为，则其体积它是二元函数.其中，和是自变量，是因变量（函数）.定义域：.例2黑白电视：在时刻屏幕上坐标为处的灰度为：，它是三元函数.例3在一个有火炉的房间里，在时刻，点处的温度是的函数：，称为温度分布函数，它是四元函数．例4求函数的定义域．解：，定义域为例5 求的定义域．解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有4.3——4

2、.4偏导数二元函数在点处关于的偏导数（注意到：取值不变，恒为）记作：或.类似地，关于的偏导数：6例如：                    求偏导数，包括两个偏导数，一个是对求偏导，一个是对求偏导.对求偏导时，应把看作常数.这样就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对求偏导也类似.注意：一元函数在处可导，则在处连续.多元函数在可导和在连续，二者不能互推.全微分称                为函数在点处的全微分.例1:求在点处关于的偏导数.解：将看作常数，，例2: 求在点处的全微分.解：，因此，4.5复合函数与隐函数

3、微分法复合函数求导法设，而，，则      6，例1: .解法1：（利用复合求导公式）设，，则  ，，                                       解法2：（直接求）同理，例2:，求．解:设,则，例3，求解:设,则，例4，求．注意：是二元函数：，而是关于的二元函数，最终是关于的一元函数．6例5，求．注意：是一元函数，而是关于的二元函数．，，例6 方程其图形为上半圆周，相应的函数为。显然，另一种观点：， ，例7设函数由方程所确定，求解:无法由已知方程解出．但此应满足                 由此解出，

4、4.6二元函数的极值二元函数的极值多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似．若对附近的均有，则称是的极小点，是极小值．若，则称是的极大点，是极大值．极大值点、极小值点统称为极值点．极大值、极小值统称为极值．极值存在的必要条件若一元函数在处可导，且是极值点，则若二元函数在处可导，且是极值点，则6，二元函数最大值、最小值若在闭区域内连续，则在内必有最大值和最小值．若在内可导，且在内有唯一驻点，则在该驻点处的值就是最大值或最小值．下面我们总结一下求最大值最小值应用问题的步骤：（1）根据题意，建立函数关系；（2）求驻点；如果驻点合理且惟一，则该

5、驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点）．例2 用铁皮做一个体积为的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省？解：设长、宽分别为，则高为，表面积为          ， 解得，此时高为答：当长、宽、高分别为、、时，无盖箱子用料最省．4.6.3条件极值在例2中，给定体积V，求用料最省的无盖长方盒，即求S=xy+2xh+2yh在条件xyh=V下的最小值．拉格朗日乘数法求函数在条件下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法：令拉格朗日函数：求的（无条件）极值：                    6解此方程组．用拉格朗日乘数法解例2：求原

6、题即为求在条件下的最小值．令                                     由此可得：解得由此可得：解得再由，解得  6