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1、一、二元函数的定义先看下面的例子.图6-11例2示意图一般地，二元函数的定义如下.解对于一元函数，一般假定在某个区间上有定义进行讨论.对于二元函数，类似地假定它在某平面区域内有定义进行讨论.所谓区域（平面的）是指一条或几条曲线围成具有连通性的平面一部分（见图6-35），所谓的连通性是指如果一块部分平面内任意两点可用完全属于此部分平面的折线连结起来.图6-12区域示意若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中心，而半径适当大的圆内，这样的区域称
2、为有界的，如图6-12(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.开区域：不包括边界内的区域叫开区域.为方便使用，将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点称为边界点.二、二元函数的几何意义图6-15例6示意图三、二元函数的极限和连续性1.二元函数的极限函数的极限是研究当自变量变化时，函数的变化趋势，但是二元函数的自变量有两个，所以自变量的变化过程比一元函数要复杂得多.二元函数的极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的运算法则和定理,都可以推广二元函数的
3、极限，下面举例说明.解2.二元函数的连续性函数的不连续点称为函数的间断点.思考题答案答案答案课堂练习题答案答案答案第三节偏导数与全微分一、偏导数的定义及求法解解证解例5.求解法1:在点(1,2)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束例6.设证:例7.求的偏导数.解:求证机动目录上页下页返回结束二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线机动目录上页下页返回结束对y轴的二、高阶偏导数*二、全微分在数值计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差
4、本节内容:一、全微分的定义全微分第三节全微分一、全微分的定义一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在
5、函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有机动目录上页下页返回结束反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:机动目录上页下页返回结束定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为于是机动目录上页下页返回
6、结束例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:机动目录上页下页返回结束可知当*二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动目录上页下页返回结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)半径由20cm增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了例4.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.机动目录上页下页返回结束求此圆柱体例5.计算的近似值.解:设,则取则机动目录上页下页返回结束内容小结1.微
7、分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则机动目录上页下页返回结束多元复合函数的求导法则一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t取增量△t,则相应中间变量且有链式法则机动目录上页下页返回结束有增量△u,△v,(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)机动目录上页下页返回结束推广:1)中间变
8、量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动目录上页下页返回结束又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动目录上页下页返回结束例1.设解:机动目录上页下页返回结束例2.解:机动目录上页下页返回结束例3.设求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动目录上页下页返回结束验证解
