四章 量子力学中的力学量的算符表示

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1、Chapter4MathematicsFoundationsofQuantumMechanicsI(量子力学中的数学基础）Linearoperator4.1PropertiesofOperaotorsOperatorinquantummechanicsdenotesanoperationofwavefunction,suchasWhatisoperator?linearoperatornonlinearoperatorLinearoperatorisself-adjoint(自共轭)orHermitian(厄密的)

2、Inquantummechanics,alloperatesareHermitianoperatorsHermitianoperator(厄密算符)x,px,V(x)HermitianoperatorInanyquantumstates,themeanvalueofHermitianoperatorisreal(1)Sum(2)product4.1-2CombiningTwoOperators(3)UnitoperatorI(4)operatorcommutator(算符对易性)SoIngeneral,theprod

3、uctoftwooperatorsdonotcommute(对易).ForexampleWecansimilarlyobtainButInsummaryoperatorcommutatorsatisfy4.1-3BraandKetNotation（左矢和右矢符号）Ascalarproductofthesquare-integrablefunctioncanbeexpressedTheorthonormalityrelationoftwowavefunctionsThemeanvalueofL(1)positionan

4、dmomentumoperators（P73）PositionoperatorItscomponentsMomentumoperatorItscomponents4.1-4OperatorinquantummechanicsCommutatorofxandp(2)Angular-momentumoperators(角动量算符)P75Itcomponentsi,j,k=(1,2,3),123任何两个角标对换，改变正负号，若两个角标相同则为零。ThefirsttermbecomesThesquareoftheangul

5、armomentumoperatorThesecondtermThesumoftwotermsis0,soSimilarlyInCartesiancoordinateInpolarcoordinate(3)KineticoperatorIfV(r)isonlythefunctionofdistance,V=V(r),andLisdependentonθandφ,so[L,V(r)]=0.Wecaneasilyobtain[L,p2]=0so[L,p2]=0[L,V(r)]=0(4)Totalenergyoperato

6、r(Hamiltonianoperator)4.2EigenvalueandEigenfunction(本征值和本征函数)IfLisaconstantvalue,itsdeviationΔL=0,sowecanfindthecorrespondingwavefunctionψL在波函数ΨL中,我们将平均值换成测量值.该方程称为本征值方程,L称为本征值,ψL称为本征函数.一个算符L,本征值为Lν，相应的本征函数ψLν有无数多个。Lν可以是分离的，也可以是连续的。当它为连续时，它可以取LnLLn+1之间的任何值。厄密

7、算符本征函数的性质(只考虑分立谱)可以证明属于不同本征值的本征函数之间是正交的.本征值L为实数,我们取第一个方程的复共轭subtractIntegrateoverthewholevolume,由于是厄密算符,那么左边两个积分在整个空间的积分是相等的.即WerequiredLnLm,henceTwowavefunctionareorthogonal分立谱的本征函数是平方可积的.结合上面的结果,我们得到对一个本征值Ln,若同时有几个本征函数与之对应,我们将这样的态称之为简并态(degeneratestates).为精确

8、起见,如果不同的本征函数ψn1、ψn2、ψn3…属于同一本征值Ln,我们称之为n重简并(n-folddegeneracy).简并态的物理意义为观测量L的某个确定值的几率可以在不同态中实现.前面我们已经证明了属于不同本征值的波函数是正交的,那么属于同一个本征值Ln的简并波函数ψnk,有一般来说，ψnk不正交.但找到正交函数的几率总是存在的。2.T