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1、立体几何第二讲简单几何体2004年高考辅导讲座学习内容：本章内容是简单几何体中常见的棱柱、棱锥和球的概念性质及面积、体积的计算.它是建立在第一章线面关系和两个体积公理的基础上研究上述几何体的性质及体积公式的。学习要求：熟练掌握上述几何体的性质并能灵活运用这些性质和第一章的有关知识，判定这些几何体中的线面关系，进一步巩固和加深对线面关系的理解，提高空间想象，逻辑思维和计算能力。学习指导：本章在学习中要灵活运用转化的思想、函数与方程的思想。转化思想：把空间问题转化为平面问题；运用切割与组合的思想，把一个复杂的几何体转化为几个简单的几何体；运用等积法化难为易。函数与方程思想：把面积体积公
2、式看成函数表达式，运用函数性质去研究问题；把体积面积公式看作列方程和方程组的等量关系来解决问题。棱柱概念性质斜棱柱直棱柱正棱柱*其他棱柱侧面积体积lcschs直斜直==注：四棱柱-平行六面体-直平行六体-长方体-正四棱柱-正方体棱锥概念性质侧面积正棱锥*一般棱锥一般棱锥侧面积求各面面积之和体积注：解题中应灵活运用三棱锥（可以任意换底）的特殊性，处理问题。多面体定义体积*(转化思想)分类四面体、五面体等凸（凹）多面体等欧拉公式:球定义截面性质表面积体积.o极限思想二典型例题解析与规律方法技巧总结例１、设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体。乙：底面是矩形的平行六面体是
3、长方体。丙：直四棱柱是直平行六面体。以上命题中真命题的个数是 （ ）(A)0(B)1(C)2(D)3此题为１９９３年全国高考题，答案为B.例2、如图，圆锥形容器高为h底面平行于水平面，锥顶朝上放置，内部装有水面高度为h/3的水，现将圆锥倒置，使锥顶朝正下方向，此时容器内的水面高度为（）h?答案为例３ 如图：这是一个正方体的展开图，若将其折回正方体，则有下列命题：(1点H与点C重合(2)点D与M,R点重合(3)点B与点Q重合(4)点A与点S重合其中正确的是（ ）ABCDEFGHNMPQRS答案：（２）（４）例4、在正三棱锥A-BCD中，E,F分别是AB,BC中点，EFDE
4、且BC=1则正三棱锥A-BCD的体积是ABCDEF分析：此题容易忽略正三棱锥固有的隐含条件：对棱垂直即ACBD。再由平行关系可得AC面ABD，故该正三棱锥三条侧棱两两互相垂直，解得体积为例5、正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持APBD1则动点P的轨迹是()(A)线段B1C(B)线段BC1(C)BB1中点与CC1中点连成的线段(D)BC中点与B1C1中点连成的线段ABCDA1B1C1D1P解析：AP在点P运动的过程中总保持与BC1垂直，说明BD1可能垂直于点A所在的平面，由此联想到与正方体体对角线垂直的平面ACB1，即点P在B1C上运
5、动时满足题意。故选A.例6、如图已知多面体ABC-DEFG中，AB,AC,AD两两互相垂直，平面ABC平面DEFG,平面BEF平面ADGCAB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为分析：可将该多面体如图1分割成两个四棱锥求体积之和。ABCDEFG图1还可将其如图2所示分成两个三棱柱求体积之和。ABCDEFG图2M答案：4例7、如图，已知是正三棱柱，D是AC中点（１）证明：平面（２）假设求以为棱,与为面的二面角的度数。ABCD分析：(1)问的关键是在平面 内找到与 平行的线。由已知D是中点想到利用中位线来找平行线。连接 则DE即可。EFABCDE分析（２）问的关
6、键是找到二面角的平面角，找平面角的方法是三垂线法。作DFBC,则DF平面,连接EF，则EF是ED在平面 上的射影。根据三垂线定理的逆定理，得是二面角的平面角。放在三角形中解得的结果是例8、如图四棱锥P-ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：PA面EDB.（2）求证：平面EDB平面PBC.（3）求二面角D-PB-C的正切值。ABCPEDO证1：连接AC交BD于O易证PAEO,(1)问得证(2)问的关键是在一个面内找到另一个面的垂线,由于要寻找垂直条件故应从已知与垂直有关的条件入手,突破此问.因为BCCD所以BC面
7、PDC所以BCDE又因为E是中点所以DEPC.综上有DE面PBC.ABCPEDF(3)问的关键是找到二面角的平面角上问知DE面PBC,所以过E做EFPB,连接FD,由三垂线定理知DEF为二面角平面角.将平面角放在直角三角形中可解得正切值为.练习1已知平面 及以下三个几何体：（１）长宽高皆不相等的长方体。（２）底面为平行四边形但不是矩形和菱形四棱柱。（３）正四面体这三个几何体在平面 上的射影可以是正方形的几何体是（ ）三、巩固与练习:答案为：1，2，3练2、三棱柱A
