勾股定理的应用

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1、勾股定理的应用　　3　勾股定理的应用　　1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离　　长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．　　谈重点长方体表面上两点间最短距离　　因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，

2、不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．　　【例1－1】如图①是一个棱长为3cm的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1cm.现在有一只爬行速度为2cm/s的蚂蚁，从下底面的A点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5s．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．　　你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？　　解：如图②，在Rt△ABD中，AD＝4c

3、m，BD＝3cm.　　由勾股定理，AB2＝BD2＋AD2＝32＋42＝25，AB＝5cm，∴蚂蚁的爬行距离为5cm.　　又知道蚂蚁的爬行速度为2cm/s，　　∴它从点A沿着正方体的表面爬行到点B处，需要时间为52＝2.5s.　　小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．　　【例1－2】如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？　　解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：　　如图①，在Rt△ABC1中，　　AC21＝A

4、B2＋BC21＝42＋32＝52＝25.　　故AC1＝5.　　如图②，在Rt△ACC1中，　　AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.　　如图③，在Rt△AB1C1中，　　AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.　　∵25＜29＜37，　　∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.　　点技巧巧展长方体　　求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．　　2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离　　圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的

5、方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．　　【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20cm，高为30πcm的圆柱下底的点A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？　　分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．　　解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最

6、短路线．　　在Rt△ACB中，AC＝40πcm，BC＝30πcm.　　由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，　　∴AB＝50πcm.　　∴蚂蚁至少爬行50πcm才能捕捉到小昆虫．　　谈重点圆柱体两点间的最短距离　　本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．　　3．生活中两点间的最短距离　　用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．　　【例3】如图①是一个三级台阶，

7、它的每一级的长、宽和高分别为5dm,3dm和1dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？　　分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．　　解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5dm，BC＝3×(3＋1)＝12dm，∠C＝90°.　　在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，　　∴AB2＝52＋122