竞赛中的三角函数例题选讲

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1、竞赛中的三角函数例题选讲【内容综述】一．三角函数的性质1．正，余弦函数的有界性对任意角，，　2．奇偶性与图象的对称性正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx的图象关于y轴对称，并且其图象还关于直线对称3．单调性y=sinx在上单调递增，在上单调递减：y=cosx在上单调递增，在上单调递减；y=tanx在上都是单调递增的；y=cotx在上都是单调递减的。4．周期性y=sinx与y=cosx的最小正周期是2π，y=tanx与

2、y=cosxr的最小正周期是π。　　【例题分析】　　例1已知圆至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围。　　解因为是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆也关于原点对称，所以，图只需覆盖的一个最值点即可。　　令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的距离不超过

3、k

4、，即　　　　　　综上可知，所求的K为满足的一切实数。　　例2已知，且　　　　求cos(x+2y)的值。　　解原方程组可化为　　　　因为所以令，则在上是单调递增的，于是由　　得f(x)=f(-2y)　　得x=-2y　

5、　即x+2y=0　　　　例3求出（并予以证明）函数　　解首先，对任意，均有　　　　　　这表明，是函数f(x)的一个周期　　其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任意，均有　　　　在上式中，令x=0，则有　　。　　两边平方，可知　　　　即sin2T=0，这表明，矛盾。　　综上可知，函数的最小正周期为。　　例3求证：在区间内存在唯一的两个数，使得　　sin(cosc)=c,cos(sind)=d　　证，构造函数　　f(x)=cos(sinx)-x　　f(x)在区间内是单调递减的，由于　　f(0)=cos(sin0)-0

6、=1>0.　　　　故存在唯一的，使f(d)=0，即　　cos(sind)=d　　对上述两边取正弦，并令c=sind，有　　sin(cos(sind))=sind　　sin(cosc)=c　　显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且　　例4已知对任意实数x，均有　　　　求证：　　证首先，f(x)可以写成　　①　　其中是常数，且，　　　　在①式中，分别令和得　　②　　③　　②+③，得　　　　　　又在①式中分别令，得　　④　　⑤　　由④+⑤，得　　【能力训练】（A组）1．求函数的单调递增区

7、间2．已知是偶函数，，求3．设，，试比较的大小。4．证明：对所以实数x,y，均有5．已知为偶函数，且t满足不等式，求t的值。（B组）6．已知，且满足：（1）；（2）；（3）。求f(x)的解析式7．证明：对任意正实数x,y以及实数均有不等式8．已知当时，不等式恒成立，求的取值范围。9．设，，求乘积的最大值和最小值。参考答案【能力训练】A组　　1．　　2．由偶函数的定义，有　　　　　　　　上式对任意成立，故　　　　所以　　3．首先，又　　　　　　，　　即　　4．只需证明不能同时成立，若不然，则存在整数m,n,k,使得　

8、　　　　　即　　矛盾　　5．由题设，得　　　　即　　由于上式对任意x成立，故sint=1，结合，即-10时，有　　　　此方程组与①联立后无解　　（2）当且b<0有　　　　此时a=4,b=-40,c=400　　（3）当a>0且有　　　　此方程组与①联立后无解。　　（4）当a<0且，有　　　　此方程组与①联立后无解，　　得上可知，。　　7．原不等式等价于　　　　若，则　　若　　故原不等式成立　　8．令，由条件可得所以在第I象限，原不等式可化为

9、　　　　由于结合原不等式对任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即　　　　　　　　9．由条件知，于是