竞赛中的三角函数例题选讲.doc

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1、學科：奧數教學內容：競賽中的三角函數例題選講【內容綜述】一．三角函數的性質1．正，余弦函數的有界性對任意角，，　2．奇偶性與圖像的對稱性正弦函數，正切函數和餘切函數都是奇函數，它們的圖像關於原點對稱，並且y=sinx的圖像還關於直線對稱：余弦函數是偶函數，從而y=cosx的圖像關於y軸對稱，並且其圖像還關於直線對稱3．單調性y=sinx在上單調遞增，在上單調遞減：y=cosx在上單調遞增，在上單調遞減；y=tanx在上都是單調遞增的；y=cotx在上都是單調遞減的。4．週期性y=sinx與y=cosx的最小正週期是2

2、π，y=tanx與y=cosxr的最小正週期是π。　　【例題分析】　　例1已知圓至少覆蓋函數的一個最大值點與一個最小值點，求實數k的取值範圍。　　解因為是一個奇函數，其圖像關於原點對稱，而圓也關於原點對稱，所以，圖只需覆蓋的一個最值點即可。　　令，可解得的圖像上距原點最近的一個最大值點，依題意，此點到原點的距離不超過

3、k

4、，即　　　　　　綜上可知，所求的K為滿足的一切實數。　　例2已知，且　　　　求cos(x+2y)的值。　　解原方程組可化為　　　　因為所以令，則在上是單調遞增的，於是由　　得f(x)=f(-2y)　

5、　得x=-2y　　即x+2y=0　　　　例3求出（並予以證明）函數　　解首先，對任意，均有　　　　　　這表明，是函數f(x)的一個週期　　其次，設，T是f(x)的一個週期，則對任意，均有　　　　在上式中，令x=0，則有　　。　　兩邊平方，可知　　　　即sin2T=0，這表明，矛盾。　　綜上可知，函數的最小正週期為。　　例3求證：在區間記憶體在唯一的兩個數，使得　　sin(cosc)=c,cos(sind)=d　　證，構造函數　　f(x)=cos(sinx)-x　　f(x)在區間內是單調遞減的，由於　　f(0)=cos

6、(sin0)-0=1>0.　　　　故存在唯一的，使f(d)=0，即　　cos(sind)=d　　對上述兩邊取正弦，並令c=sind，有　　sin(cos(sind))=sind　　sin(cosc)=c　　顯然，由於y=sinx在是單調遞增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且　　例4已知對任意實數x，均有　　　　求證：　　證首先，f(x)可以寫成　　①　　其中是常數，且，　　　　在①式中，分別令和得　　②　　③　　②+③，得　　　　　　又在①式中分別令，得　　④　　⑤　　由④+⑤，得　　【能力訓練】（A組）1．求函

7、數的單調遞增區間2．已知是偶函數，，求3．設，，試比較的大小。4．證明：對所以實數x,y，均有5．已知為偶函數，且t滿足不等式，求t的值。（B組）6．已知，且滿足：（1）；（2）；（3）。求f(x)的解析式7．證明：對任意正實數x,y以及實數均有不等式8．已知當時，不等式恒成立，求的取值範圍。9．設，，求乘積的最大值和最小值。參考答案【能力訓練】A組　　1．　　2．由偶函數的定義，有　　　　　　　　上式對任意成立，故　　　　所以　　3．首先，又　　　　　　，　　即　　4．只需證明不能同時成立，若不然，則存在整數m,n

8、,k,使得　　　　　　即　　矛盾　　5．由題設，得　　　　即　　由於上式對任意x成立，故sint=1，結合，即-10時，有　　　　此方程組與①聯立後無解　　（2）當且b<0有　　　　此時a=4,b=-40,c=400　　（3）當a>0且有　　　　此方程組與①聯立後無解。　　（4）當a<0且，有　　　　此方程組與①聯立後無解，　　得上可知，。　　7．原不等式等價於　　　　若，則　　若　　故原不等式成立　　8．令，由條件可得所以在第I象限，原不

9、等式可化為　　　　由於結合原不等式對任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即　　　　　　　　9．由條件知，於是