关于上下极限的一些问题

《关于上下极限的一些问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、关于上下极限的一些问题利用上K极限我们可以更加完整地刻画和分析序列的性态。正确理解这个概念的精细之处#•不界易。深入把握并熟练运用上下极限的技巧已超出了我们的教学要求。因此同学们可根裾ft己的情况对这部分内容做!Ii适当的安排。通常旮两种方式定义上下极限。课本里给出的定义(第一章总复习题题15,第24页)称为上下极限的确界定义。此外，我们还可以定义序列的上下极限分别为序列的玷大和鉍小的聚点。我们称这种定义为聚点定义。(序列的任意一个收敛了•列的极限称作为序列的一个聚点，也称序列的极限点。)我们在课堂里己经证明了这两种定义的等价性。上下极限的聚点定义似乎更容

2、易直观理解和把娓。而确界定义则更M•有实际操作意义。以卜我们列出一些关于上下极限的性质。它们的证明奋些比较界易，如(i)的证明。根据上下极限的聚点定义，结论是显而易见的。冇些不太容易，但也不太难，努力一下可以证出來。如(ii)的证明。所有证明在这里均从略。在吉米多维奇习题解答的书中，可以找到相关的证明。设序列均有界，则下列结论成立。⑴若幺乂,，V/7>nQ,则linu、幺limyn,lirnrw幺limy,,。(保序性)(ii)limr,,+limy,,

3、m(-x/;)=—linu.r。(iv)若x,,，)、20,PliJ(limx,,);)(v)若极限lim存在，则/：—>+oo+Z,)=limx,,+Hmyw,lim(xrt+)=hmxn+limy。(vi)^rxfl>0,贝ijlim—==一,lim—=—-—'linu,,'linu/t(iv)若2“〉0，且极限lim存在，则H—>+oo以K四道题均涉及到序列极限的存在性。我们将利川上下极限的技术來证明极限的存在性，以敁示上下极限技术很给力。题1.设数列U,,｝满足x,,+么，Vzi,/?

4、2>lo证明极限limi存在。（这道题与第一章总复>i题题14第24页类似。）注：如果哪位hd学能够证明所述极限的存在性，但不使用上下极限技术，谘一定和老师収得联系。这说明你真的很厉害。证明：根裾关系式OSx„+，„1,即序列有界。因此其上下极限满足nn0

5、im2。注意正整数rn同定，数厂迅然随着n在变

6、化，但0l,%=1确定。讨论数列｛&｝的收an敛性。（这是课本的习题1.4题14,第19贝）。解：不难确定利用性质bzi）,对关系式人+1=1+1两边分别取上极限an——11——和下极限，我们可以得到limz,，=1+—,limzn=1+。

7、记义:=liimn,//:=limzn,linvznhmin'1H则有2=1+1,a=1+_L。由此得到/i/z二A+1和2/7二A+l。从而有A二//。此即序//2列｛&｝的上下极限相等。W此它的极限存4:。进一步讨确定其极限值为二次方程A2=A+i的正根人=（l+W）/2。解答完毕。注：当然可以用其他方法证明序列｛&｝极限的存在性。不难证叨屮以T有上界人，6/2,，丄有下界人。因此它们均宥极限。不难确定它们的极限值相等。细节略。题3:利用上下极限技术，证明Stolz定理（oo/oo型）：考虑极限lim~。假没久T+OO严/?->+<»格，且极限limg

8、―么-1存在，记作/（这里允许/=+oo和/:一〜），则极限lim^=/o//—>-H»A一A/J—>+ooAun"，卜1un✓7—n证明：以下只证明/为有限的情形。M:它情形的证明类似。根据假设d=/知,n^bn-bn_x对于V£〉0，3/V〉0,使得n—nl-e<]^~

9、上式写作anaNbbl-£<——「［