关于数列极限的计算

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1、关于数列极限的计算摘要:本文研究数列极限的计算问题.数列极限理论是数学分析的基础,而数列极限的计算乂是极限理论的重要组成部分,有着广泛的应用•本文给出儿种类型的数列极限求法,讨论的内容涉及数列知识、两边夹法则、Stolz定理、定积分理论、级数和对数理论求极限法则等,最后,给出儿个例子来说明本文方法的有效性.关键词:数列极限、Stolz定理、级数.TheCalculationofSequenceLimAbstract:thesequencelimittheoryisthebasisofmathematicalanalysis,andthecalculationofsequ

2、eneelimitisthemainconstituentofthelimittheory,hasawideapplication.Thispapersummarizesseveraltypesofsequencelimitmethod,discussesthecontentrelatedtotheseries,bothsidesgripruleknowledge,definiteintegraltheorem,theory,andtheoryoflogarithmicseriesextremerulesandsoon,tothelimitofasequenceofca

3、lculationsaredoneinasummary.Keywords:thelimitofasequence,Stolztheorem,series.一刖吞两千多年前古希腊数学家阿基米德计算曲边图形面积用的“穷竭法”思想,我国春秋战国吋期《庄子•天下篇》屮截杖问题:“一尺之锤,日取其半,万世不竭”等等无不闪现出极限思想的光辉•如《庄子•天下篇》中的截杖问题,为什么会“刀世不竭”呢?每天剩留量是多少呢?由此得出无穷数列:】七J出「,经过“天后,述剩下出当卅是足够大的数时,㈢非常接近于微观上确实客观存在,当然会“万世不竭",当“是无限变大的数时,引越来越趋近于。,即有E

4、tO.定义设{色}为数列,a为定数,若对任给的止数宀总存在正整数N,使得当n>N时冇则称数列{%}收敛于G,定数Q称为数列仗讣的极限,并记作liman=ch或anta{nTco),读作“当〃趋于无穷大时,{陽}的极限等于。或色趋于d・定义任给£〉0,若在t/(d;£)之外数列{色}屮的项至多只有有限个,则称数列仏}收敛于极限Q•定义2:压缩变差数列:若数列{%}满足条件卜“-兀Li

5、s厂

6、兀一1-兀』,n=3,4・・・(O"Sl)则称{%}为压缩变差数列(简称压缩数列).Stolz定理卩(丝型):00设数列{几}单调递增趋于+00,aiim兀=8,若lim陥—暫二A(可

7、以为无穷).X—>8n—>o)y]一yXlim」=A.S血定理2山G型):设数列{儿}单调下降趋于0,11lim£=0,若limI'n-»00/t->co=A(可以为无穷).二主要结论V则lim仏=A.HT+ooy2.1利用两边夹法则求数列极限定理若存在自然数N,当〃>N时,总有陽<bn<cn,Klima“=limcn=/,则lim®=1."TOO7?T8"TOO例1求lim心刀E、I〃111111解因力i-5/H—/+…H—/5—I…—=1;Vn2+na/m2+1+2yjn2+nnnnH.lim,———=1J/,+n2.2已知数列递推关系,求极限1先判断数列极限存在,

8、再求极限2压缩映像法(任意压缩数列一定收敛)例2设Ovcvl,®=£,色+严彳+牟,证明:{色}收敛,并求其极限.222证明先用数学归纳法可证0va”v1(/7=1,2,3…).再用数学归纳法证明色+1»色(斤=1,2,3…).显然a2>4,归纳假设ak>ak_{,则aM-ak=_/-I)=£(%+绞-1)(畋一ak-)-0.故an+l>an(刃=1,2,3…)成立.综上所述,知{色}单调递增有上界;?.liman=I(存在)a意到zvi,22..lima”=/=1-Vl-c.n-xo例3设/(兀)=,数列{%}由如卜•递推公式定义:兀°=1,兀“+1=/(兀“),(

9、〃=0,1,2・・・)・X1求证:limx/:=>/2•"->8证明:由x0=1,+21"討丄2,…)/何+击卜卄"Ilim-1)二limXT8兀一>8=limXT8—In.rex-1(利用无穷小极限)i・•・暫+i-打=

10、心)-/(£一1)卜『(绷暫-兀」呂kr・则匕}为压缩数列,/.limxrt=/(存在),则由耳“=加2得心竺,即厂心8£+1/+1.*./=V2或1=_近(舍去)此即limx„=72.“T82.3利用洛必达法则及Stolz定理求数列极限洛必达法则及Stolz沱理是数学分析中处理“兰”型及“°”型极限的两个車要工具.0

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