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1、关于数列极限的计算摘要：本文研究数列极限的计算问题.数列极限理论是数学分析的基础，而数列极限的计算乂是极限理论的重要组成部分，有着广泛的应用•本文给出儿种类型的数列极限求法，讨论的内容涉及数列知识、两边夹法则、Stolz定理、定积分理论、级数和对数理论求极限法则等，最后，给出儿个例子来说明本文方法的有效性.关键词：数列极限、Stolz定理、级数.TheCalculationofSequenceLimAbstract:thesequencelimittheoryisthebasisofmathematicalanalysis,andthecalculationofsequ
2、eneelimitisthemainconstituentofthelimittheory,hasawideapplication.Thispapersummarizesseveraltypesofsequencelimitmethod,discussesthecontentrelatedtotheseries,bothsidesgripruleknowledge,definiteintegraltheorem,theory,andtheoryoflogarithmicseriesextremerulesandsoon,tothelimitofasequenceofca
3、lculationsaredoneinasummary.Keywords:thelimitofasequence,Stolztheorem,series.一刖吞两千多年前古希腊数学家阿基米德计算曲边图形面积用的“穷竭法”思想，我国春秋战国吋期《庄子•天下篇》屮截杖问题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”等等无不闪现出极限思想的光辉•如《庄子•天下篇》中的截杖问题，为什么会“刀世不竭”呢?每天剩留量是多少呢？由此得出无穷数列：】七J出「，经过“天后，述剩下出当卅是足够大的数时，㈢非常接近于微观上确实客观存在,当然会“万世不竭"，当“是无限变大的数时,引越来越趋近于。，即有E
4、tO.定义设｛色｝为数列，a为定数，若对任给的止数宀总存在正整数N,使得当n>N时冇则称数列｛%｝收敛于G,定数Q称为数列仗讣的极限,并记作liman=ch或anta｛nTco),读作“当〃趋于无穷大时，｛陽｝的极限等于。或色趋于d・定义任给£〉0,若在t/（d；£）之外数列｛色｝屮的项至多只有有限个，则称数列仏｝收敛于极限Q•定义2:压缩变差数列：若数列｛%｝满足条件卜“-兀Li
5、s厂
6、兀一1-兀』，n=3,4・・・（O"Sl）则称｛%｝为压缩变差数列（简称压缩数列）.Stolz定理卩（丝型）：00设数列｛几｝单调递增趋于+00,aiim兀=8,若lim陥—暫二A（可
7、以为无穷）.X—>8n—>o）y]一yXlim」=A.S血定理2山G型）:设数列｛儿｝单调下降趋于0,11lim£=0,若limI'n-»00/t->co=A（可以为无穷）.二主要结论V则lim仏=A.HT+ooy2.1利用两边夹法则求数列极限定理若存在自然数N,当〃＞N时,总有陽＜bn＜cn,Klima“=limcn=/,则lim®=1."TOO7?T8"TOO例1求lim心刀E、I〃111111解因力i-5/H—/+…H—/5—I…—=1；Vn2+na/m2+1+2yjn2+nnnnH.lim,———=1J/,+n2.2已知数列递推关系,求极限1先判断数列极限存在，
8、再求极限2压缩映像法（任意压缩数列一定收敛）例2设Ovcvl,®=£,色+严彳+牟，证明：｛色｝收敛,并求其极限.222证明先用数学归纳法可证0va”v1（/7=1,2,3…）.再用数学归纳法证明色+1»色（斤=1,2,3…）.显然a2>4，归纳假设ak>ak_｛，则aM-ak=_/-I）=£（%+绞-1）（畋一ak-）-0.故an+l>an（刃=1,2,3…）成立.综上所述，知｛色｝单调递增有上界；?.liman=I（存在）a意到zvi,22..lima”=/=1-Vl-c.n-xo例3设/（兀）=，数列｛%｝由如卜•递推公式定义：兀°=1,兀“+1=/（兀“）,（
9、〃=0,1,2・・・）・X1求证：limx/:=>/2•"->8证明：由x0=1,+21"討丄2,…）/何+击卜卄"Ilim-1）二limXT8兀一>8=limXT8—In.rex-1（利用无穷小极限）i・•・暫+i-打=
10、心）-/（£一1）卜『（绷暫-兀」呂kr・则匕｝为压缩数列,/.limxrt=/（存在），则由耳“=加2得心竺，即厂心8£+1/+1.*./=V2或1=_近（舍去）此即limx„=72.“T82.3利用洛必达法则及Stolz定理求数列极限洛必达法则及Stolz沱理是数学分析中处理“兰”型及“°”型极限的两个車要工具.0
