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1、数学分析中的上下极限引言上下极限是数学分析中的难点,它是后续课程实变函数论、泛函分析、拓扑学的基础。我在刚开始自学实变函数论时，对于集合的上下极限无法理解，然后，就去看了数学分析中的上下极限，打下一个基础，才慢慢掌握了集合的上下极限，再后面几章节都碰到了上下极限的符号，我渐渐地适应了。作为一个自考生毕业后，有一些人还想考研，考研就必须考数学分析，有时会出现上下极限的题目，好多人因为复习时没有注重上下极限的复习，往往在考场上不知所以然。我写这个论题上下极限，一个主要目的就是帮助自考生毕业考研时，能有一个解题思路，同时对分析也是一个自我
2、的提升。本论题从上下极限的定义性质出发，讲述了考研中出现的一些上下极限的运算和证明题。另外还有一些很深刻的结论，不是一步就写完，而是把深刻的结论分化成几个相对比较简单的题目来证明，最后得到深刻的结论。本论题以北大数学分析习题集和历年考研题为例题，并对个别习题，作了拓广，得到比原题更深的结果，同时也对一些性质作了证明。除了引用了泛函分析中的一个稠密性的定义以外，内容全是数学分析的范围。1数学分析中的上下极限1.1上下极限的定义和性质定义1{an}是一列实数，它的所有收敛的子列的极限值中最小（最大）值称为{an}的下极限（上极限），记着
3、liman（liman）.n→+∞n→+∞性质1任何实数列{an}的上下极限必存在，并且lima=min{a,a,…a}，nlimlimnn+1n+mn→+∞n→+∞m→+∞a=max{a,a,…a}.limnlimlimnn+1n+mn→+∞n→+∞m→+∞性质2{an}为收敛数列充要条件是liman=liman.n→+∞n→+∞性质3{an}为收敛数列，在下面两式右边有确定意义，有(a+b)=a+b,limnnlimnlimnn→+∞n→+∞n→+∞(a+b)=a+limb.limnnlimnnn→+∞n→+∞n→+∞性质4设{
4、an}和{bn}都是数列，在下面的左式有确定的意义时，有lima+limb≤lim(a+b),nnnnn→+∞n→+∞n→+∞a+b≥(a+b).limnlimnlimnnn→+∞n→+∞n→+∞性质5设{an}和{bn}都是数列，在下面的不等式中中间有意义时，有(a+b)≤a+b≤(a+b)limnnlimnlimnlimnnn→+∞n→+∞n→+∞n→+∞性质6设{an}是数列，α是正数，β是负数，那么limαan=αliman，limαan=αliman，n→+∞n→+∞n→+∞n→+∞limβan=βliman，limβan
5、=βliman.n→+∞n→+∞n→+∞n→+∞2数学分析中的上下极限1.2数列的上下乘法极限性质证明命题1.设{a}和{b}都是正实数，且左边有意义，则nnlima•limb≤lima•blima•limb≥lima•bnnnnnnnnn→+∞n→+∞n→+∞n→+∞n→+∞n→+∞证：仅对上极限证明,令lima=x,limb=y,如果x,y中有一个是+∞,另一个不是0，从而xy=+∞，nnn→+∞n→+∞lima•limb≥lima•b成立.如果x,y中有一个是0，另一个不是+∞,设nnnnn→+∞n→+∞n→+∞x=0,y不是
6、+∞,{b}有界，a•b→0，lima•limb≥lima•b成立的.nnnnnnnn→+∞n→+∞n→+∞现在只要证明x,y既不是无穷也不是0的情况，任取{a•b}的收敛子序列nn{•},于是又可取{n,n,…}的子列{}（i=1,2,3，...）使得⎧⎨⎫⎬,⎧⎨⎫⎬anbn12nanbnkkki⎩ki⎭⎩ki⎭都收敛，从而lima≤x,limb≤y.所以i→+∞ni→+∞nkiki⎛⎞⎛⎞lim⎜a•b⎟=lim⎜a•b⎟=lima•limb≤x•y=liman•limbn.则k→+∞⎝nknk⎠i→+∞⎝nkinki⎠i→+
7、∞nkii→+∞nkin→+∞n→+∞lima•limb≥lima•bnnnnn→+∞n→+∞n→+∞命题2.设{a}和{b}都是正实数，且中间有意义，则nnlima•b≤lima•limb≤lima•bnnnnnnn→+∞n→+∞n→+∞n→+∞证：只证明右边，令liman=x,limb=y,如果x,y中有一个是0，另一个不是nn→+∞n→+∞+∞，从而xy=0，lima•limb≤lima•b.如果x,y中有一个是0，另一个不nnnnn→+∞n→+∞n→+∞是+∞,设x=0,y不是+∞,{b}有界，a•b→0，lima•limb
8、≤lima•b成nnnnnnnn→+∞n→+∞n→+∞立的.现在只要证明x,y既不是无穷也不是0的情况，取{a•b}的收敛子序列nn{•},于是又可取{n,n,…}的子列{}（i=1,2,3，...）使得⎧⎨⎫⎬,⎧⎨⎫⎬anbn12
