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1、立体几何空间计算适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点立体几何空间计算教学目标1.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.2.学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，用联系的观点看待事物．教学重点空间向量的加减与数乘运算及运算律.教学难点应用向量解决立体几何问题.教学过程一、新课导入我们已经学习了平面向量的内容，本节课就把平面向量及其线性运算推广到空间向量，并运用空间向量解决立体几何问题.三、知识讲解考点1空间向量基本知识点及运算1.向量的直角坐标运算设＝，＝则(1)＋
2、＝；(2)－＝；(3)λ＝(λ∈R)；(4)·＝；2.设A，B，则=.3、设，，则；.4.夹角公式：设＝，＝，则.5．异面直线所成角：=.6．平面外一点到平面的距离：已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，到平面的距离为：.7．线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，.8．线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角..9．面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
3、.四、例题精析考点1空间几何体的结构例1如图，在底面为直角梯形的四棱锥中,平面，.⑴求证：；⑵求直线与平面所成的角；⑶设点在棱上，，若∥平面，求的值.【规范解答】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（1）设，则，∵，∴. （2）由（1）知.由条件知A（1，0，0），B（1，，0），.设，则.即直线为. （3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则，，，，而，所以，=.设为平面PAB的法向量，则，即，即.进而得，由,得
4、∴ . 【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.例2如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面平面.⑴证明：；⑵求二面角的余弦值；⑶在直线上是否存在点,使∥平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【规范解答】⑴由条件知四边形是菱形，所以.而平面平面，平面平面，所以平面.又平面，所以.⑵因为，是菱形，所以.而，所以是正三角形.令，连结，则两两互相垂直.如图所示，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，平面的法向量为.设是平面的法向量，则.，则即.设二面角的
5、平面角为，则是锐角，并且，因此二面角的余弦值为.⑶解：设这样的点存在，且，而，所以.又，所以，.设是平面的法向量，则.令，则，即.要使∥平面当且仅当，所以.这说明题目要求的点存在，实际上，延长到点，使得即得到所求的点.【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.例3如图，四棱锥中，⊥底面,.（1）设的中点为，求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.【规范解答】ＰＣＢＡＤＭ如图建立空间直角坐标系.（1）设，则，，.设平面的一个法向量为，则，令得. 而，所以，即
6、，又平面故平面.（2），设与平面所成角为，由直线与平面所成角的向量公式有：.【总结与反思】本本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.例4已知四棱锥的底面为直角梯形,∥,底面,且,是的中点.(1)求与所成的角的余弦值；(2)求二面角P—AC—M的余弦值；(3)在棱PC上是否存在点N,使DN∥平面AMC,若存在,确定点N位置；若不存在,说明理由.ABCDPM【规范解答】（1）如图建立空间直角坐标系,则A（0,0,0）、C（1,1,0）、P（0,0,1）、B（0,2,0）、M（0,1,）,∴,∴
7、.（2）设平面AMC的一个法向量为∴.令,则,∴，,,是平面的一个法向量..二面角P—AC—M的余弦值为.（3）存在,N为PC中点.设则.依题意,∴,即N为PC中点..【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.例5如图，在正方体中，、分别是、中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）棱上是否存在点使，若存在，确定点位置，若不存在，说明理由.【规范解答】（1）建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为，则，，...（2）.（3）设点.【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结
8、合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.例6如图，直三棱柱中，是棱的中点，.（1）证明：；（2）求二面角的大小.【规范解答】（1）证明：在中，得
