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1、概率论与数理统计复习题九、最大似然估计例：设总体X的概率密度为其中未知参数，是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求的估计量。解：设似然函数对此式取对数，即：且令可得，此即的极大似然估计量。例：设总体的概率密度为据来自总体的简单随机样本，求未知参数的最大似然估计量。（同步39页三、3）解：由得总体的样本的似然函数再取对数得：7再求对的导数：令，得所以未知参数的最大似然估计量为。练习：设总体X的密度函数为X1,X2,…,Xn是取自总体X的一组样本，求参数α的最大似然估计（同步52页三、5）十、区间估计总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为X的一个样本1：σ2已
2、知,求μ的置信度为1-α置信区间2：σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间3：求σ2置信度为1-α的置信区间例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：。求该校女生平均身高的95％的置信区间。解：,由样本数据得查表得：t0.05(?)=2.2622,故平均身高的95％的置信区间为例：从总体X服从正态分布N(μ，σ2)中抽取容量为10的一个样本，样本方差S2＝0.07,试求总体方差σ2的置信度为0.95的置信区间。7解：因为,所以的95%的置信区间为:,其中S2＝0.07,,所以==（0.033,0.233）例：已知某种材料的抗压强度,现
3、随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下:482,493,457,471,510,446,435,418,394,469.(1)求平均抗压强度的点估计值;(2)求平均抗压强度的95%的置信区间;(3)若已知=30,求平均抗压强度的95%的置信区间;(4)求的点估计值;(5)求的95%的置信区间;解:(1)0(2)因为,故参数的置信度为0.95的置信区间是:,经计算,s=35.276,n=10,查自由度为9的分位数表得,,故=={432.30,482.70}(3)若已知=30,则平均抗压强度的95%的置信区间为:7=={438.90,476.09}(4)=S2=1240.28
4、(5)因为,所以的95%的置信区间为:,其中S2=1240.28,,所以=={586.79,4134.27}十一、假设检验1．已知方差σ2,关于期望μ的假设检验2．未知方差σ2,关于期望μ的假设检验3．未知期望μ,关于方差σ2的假设检验例：已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水，含碳量平均数，样本方差S2＝0.0169。若总体方差没有变化，即σ2＝0.121，问总体均值μ有无显著变化？（α＝0.05）（同步50页四、1）解：原假设H0：μ＝4.55统计量，当H0成立时，U服从N（0，1）对于α＝0.05，U0.025=1.967故拒
5、绝原假设，即认为总体均值μ有显著变化练习：某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得厘米，S=0.016厘米。问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？（α＝0.05）（同步52页四、2）【不一样】例：设某厂生产的一种钢索,其断裂强度kg/cm2服从正态分布.从中选取一个容量为9的样本,得kg/cm2.能否据此认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2().解：H0：u=800.采用统计量U=其中σ=40,u0=800,n=9,，查标准正态分布表得=1.96
6、U
7、=,
8、U
9、<,应接受原假设,即
10、可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2.练习：某厂生产铜丝，生产一向稳定。现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算：。假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？（α＝0.1）（同步46页四、2）【是】十二、证明题：例：总体,其中是未知参数,又为取自该总体的样本,为样本均值.证明:是参数的无偏估计.（同步39页四、2）证明:因为=,故是参数的无偏估计.例：设是参数的无偏估计量,,证明:不是的无偏估计量.证明：因为是参数的无偏估计量，所以，,即,故不是的无偏估计量.（同步39页四、3）其它证明题见同步练习46页五、50页五、十三、其
11、它题目7例：设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率。解：P(X＞3)=d=,则所求概率即为九、（12分）已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布。在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值（以小时记）为：999.17993.051001.841005.36989.81000.891003.741000.231001.261003.19试求未知参数，及的置信度为0.95的置信区间。(,,)解：（1）未知参数的置信度为0.9
