三角形全等之类比探究（习题及答案）

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1、三角形全等之类比探究（习题）Ø例题示范例1：已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，AD=AF，∠DAF=90°，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD三条线段之间的关系．【思路分析】结合题目特征，本题为类比探究问题．

2、解决方法：（1）根据题目条件及（1）问中D在线段BC上，证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，结论可证．（2）用解决第（1）问的方法解决后续问题，方法上完全照搬．如图2，通过证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，进而得到BC+CD=CF；如图3，通过证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，进而得到BC+CF=CD．【过程书写】证明：如图，∵∠DAF=90°，∠BAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）∴BD=CF∵BD+CD=BC∴CF+CD=BC（2）BC+CD=CF（3）BC

3、+CF=CD，理由如下：∵∠DAF=90°，∠BAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）∴BD=CF∵BC+BD=CD∴BC+CF=CDØ巩固练习1.已知AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，如图1．（1）求证：AC=CE．（2）若将△ECD沿CB方向平移至如图2的位置（C1，C2不重合），其余条件不变，结论AC1=C2E还成立吗？请说明理由．（3）若将△ECD沿CB方向平移至如图3的位置（B，C2重合），其余条件不变，结论AC1=C2E还成立吗？请说明理由．1.（1）【问题发现】小明学习中

4、遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：_______________；（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其他条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）【拓展应用】如图3，当点D在线段BC的延长线上（其他条件不变），试猜想AD与DE之间的

5、数量关系，并证明你的结论．1.如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到如图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【参考答案】1.证明略路线图：提示：（1）AC=CE，由垂直转互余可以得到∠A=∠DCE，结合BC=DE证明△ABC≌△C

6、DE，得到对应边相等，可以得到AC=CE．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．（3）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．2.证明略路线图提示：（1）AD=DE（2）AD=DE成立，根据△ABC以及△BDF是等边三角形，得到AF=DC，再结合∠ADE=60°，倒角，得到∠DAF=∠EDC，结合外角平分线，知∠DCE=∠AFD=120°，得到△ADF≌△DEC，得到对应边相等，可得AD=DE．（3）成立，照搬第二问的字母、思路和过程可以得到AD=DE．1.证明略　　　路线图提示：（1）由已知条件先证明

7、△BAE≌△CAD(SAS)，得到BE=CD，结合第一次全等提供的条件证明△ABM≌△ACN(SAS)得到AM=AN，因而△AMN是等腰三角形．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=CD，△AMN是等腰三角形．