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时间:2018-10-26
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1、三角形全等之类比探究(讲义)Ø知识点睛1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合,由特殊情形到一般情形(或由简单情形到复杂情形)逐步深入,解决思想方法一脉相承的综合性题目,常以几何综合题为主.2.解决类比探究问题的一般方法:(1)根据题干条件,结合_______________先解决第一问;(2)用解决_______的方法类比解决下一问,整体框架照搬.整体框架照搬包括_________________,________________,_________________.3.常见几何特征及做法:见中点,___________________________.Ø精讲精练1.在△AB
2、C中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE.(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,请直接写出DE,AD,BE之间的数量关系.2.如图1,四边形ABCD是正方形,AB=BC,∠B=∠BCD=90°,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F.(1)求证:AE=EF(提示:在AB上截取BH=BE,连接HE,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决).
3、(2)如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其他条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立吗?说明理由.(3)如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”是否成立?说明理由.1.以△ABC的边AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,∠BAE=∠CAD=90°,AB=AE,AC=AD,M是BC中点,连接AM,DE.(1)如图1,在△ABC中,当∠BAC=90°时,求AM与DE的数量关系和位置关系.(2)如图2,当△ABC为一般三角形时,(1)中的结论是否成立,并说明理由.
4、(3)如图3,若以△ABC的边AB,AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,并说明理由.1.(1)如图1,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,∠ABC=∠ADC=90°,则能得到如下两个结论:①DC=BC;②AD+AB=AC.请你证明结论②.(2)如图2,把(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为“∠ABC+∠ADC=180°”,其他条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)如图3,如果D在AM的反向延长线上,把(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为“
5、∠ABC=∠ADC”,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请直接回答;若不成立,请直接写出你的结论.【参考答案】Ø知识点睛:解决类比探究问题的一般方法:(1)根据题干条件,结合分支条件先解决第一问;(2)用解决第(1)问的方法类比解决下一问,整体框架照搬.整体框架照搬包括照搬字母,照搬辅助线,照搬思路.常见几何特征及做法:见中点,考虑倍长中线.Ø精讲精练1.证明:(1)如图,∵∠ACB=90°∴∠1+∠2=90°∵AD⊥MN,BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB(AAS)∴AD=CE,DC=
6、EB∴DE=CE+DC=AD+BE(2)如图,∵∠ACB=90°∴∠1+∠2=90°∵AD⊥MN,BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠CBE+∠2=90°∴∠1=∠CBE在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB(AAS)∴AD=CE,DC=EB∴DE=CE-DC=AD-BE(3)DE=BE-AD,理由如下:如图,∵∠ACB=90°∴∠1+∠2=90°∵AD⊥MN,BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB(AAS)∴AD=CE,DC=EB∴DE=DC-CE=BE-AD1.解:(1)AE=EF,理由如下:
7、如图,在AB上截取BH=BE,连接HE.∵AB=BC∴AH=EC∵∠B=90°∴∠1=∠2=45°∴∠AHE=135°∵∠BCD=90°∴∠DCG=90°∵CF平分∠DCG∴∠GCF=45°∴∠ECF=135°∴∠AHE=∠ECF∵∠AEF=90°,∠B=90°∴∠AEB+∠3=90°,∠AEB+∠4=90°∴∠3=∠4在△AHE和△ECF中∴△AHE≌△ECF(ASA)∴AE=EF(2)AE=EF仍成立,理由如下:如图,在AB上截取BH=BE,连接HE.∵AB=BC∴AH=EC
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