三角形全等之类比探究.docx

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1、三角形全等之类比探究1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE．（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的数量关系．1.如图1，四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠B=∠BCD=90°，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）求证：AE=EF（提示：在AB上截取BH=BE，

2、连接HE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决）．（2）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立吗？说明理由．（3）如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”是否成立？说明理由．1.以△ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠BAE=∠CAD=90°，AB=AE，AC=AD，M是BC中点，连接AM，DE．（1）如图1，在△ABC中，当∠BAC=90°时，求AM与DE的数量关系和位置关系．（2

3、）如图2，当△ABC为一般三角形时，（1）中的结论是否成立，并说明理由．（3）如图3，若以△ABC的边AB，AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，并说明理由．1.（1）如图1，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，则能得到如下两个结论：①DC=BC；②AD+AB=AC．请你证明结论②．（2）如图2，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为“∠ABC+∠ADC=180°”，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（

4、3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为“∠ABC=∠ADC”，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，请直接写出你的结论．【参考答案】1.证明：（1）如图，∵∠ACB=90°∴∠1+∠2=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB(AAS)∴AD=CE，DC=EB∴DE=CE+DC=AD+BE（2）如图，∵∠ACB=90°∴∠1+∠2=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=9

5、0°∴∠CBE+∠2=90°∴∠1=∠CBE在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB(AAS)∴AD=CE，DC=EB∴DE=CE-DC=AD-BE（3）DE=BE-AD，理由如下：如图，∵∠ACB=90°∴∠1+∠2=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB(AAS)∴AD=CE，DC=EB∴DE=DC-CE=BE-AD1.解：（1）AE=EF，理由如下：如图，在AB上截取BH=BE，连接HE．∵AB=BC∴AH=EC∵∠B=90°∴∠1=∠2=45°∴∠AHE=1

6、35°∵∠BCD=90°∴∠DCG=90°∵CF平分∠DCG∴∠GCF=45°∴∠ECF=135°∴∠AHE=∠ECF∵∠AEF=90°，∠B=90°∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠4=90°∴∠3=∠4在△AHE和△ECF中∴△AHE≌△ECF(ASA)∴AE=EF（2）AE=EF仍成立，理由如下：如图，在AB上截取BH=BE，连接HE．∵AB=BC∴AH=EC∵∠B=90°∴∠1=∠2=45°∴∠AHE=135°∵∠BCD=90°∴∠DCG=90°∵CF平分∠DCG∴∠GCF=45°∴∠ECF=135°∴∠AHE=∠ECF∵∠AEF=90°，∠B=9

7、0°∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠4=90°∴∠3=∠4在△AHE和△ECF中∴△AHE≌△ECF(ASA)∴AE=EF（3）AE=EF仍成立，理由如下：如图，延长BA到H，使BH=BE，连接HE．∵AB=BC∴AH=EC∵∠B=90°∴∠H=45°∵∠BCD=90°∴∠DCG=90°∵CF平分∠DCG∴∠1=45°∴∠H=∠1∵∠AEF=90°，∠B=90°∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠2=90°∴∠2=∠3∵∠HAE+∠2=180°，∠CEF+∠3=180°∴∠HAE=∠CEF在△AHE和△ECF中∴△AHE≌△ECF(ASA)∴AE=EF

8、1.解：（1）DE=2AM，AM⊥DE