下学期 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质3

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1、下学期4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质3下学期4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质34.8正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）（一）教学具准备　　直尺、投影仪．（二）教学目标　　1．理解，的周期性概念，会求周期．　　2．初步掌握用定义证明的周期为的一般格式．（三）教学过程　　1．设置情境　　自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角的终边每转一周又会与原来的位置重合，故，的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概

2、念——函数的周期性（板书课题）　　2．探索研究　　（1）周期函数的定义　　引导学生观察下列图表及正弦曲线0010－1010－10　　正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．　　联想诱导公式，若令则，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：　　对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期．　　如，，…及，…都是正弦函数的周期．　　注意：周期函数定义中有两点须重视，一是是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．　　师：请同学们思考下列问题：①对于函数，有能否说是正

3、弦函数的周期．　　生：不能说是正弦函数的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式成立，所以不符合周期函数的定义．　　②是周期函数吗？为什么　　生：若是周期函数，则有非零常数，使，即，化简得，∴（不非零），或（不是常数），故满足非零常数不存在，因而不是周期函数．　　思考题：若为的周期，则对于非零整数，也是的周期．（课外思考）　　（2）最小正周期的定义　　师：我们知道…，，，，…都是正弦函数的周期，可以证明（且）是的周期，其中是的最小正周期．　　一般地，对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．　　今后若

4、涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．　　依据定义，和的最小正周期为．　　（3）例题分析　　【例1】求下列函数的周期：　　（1），；　　（2），；　　（3），．　　分析：由周期函数的定义，即找非零常数，使．　　解：（1）因为余弦函数的周期是，所以自变量只要并且至少要增加到，余弦函数的值才能重复取得，函数，的值也才能重复取得，从而函数，的周期是．即，∴　　（2）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，就是说，变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复取得，而所以自变量只要并且至少要增加到，函数值就能重复取得，从而函数，的周期是．　　即　　∴　　（

5、3）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式成立的最小正数，从而函数，的周期是．　　而　　∴　　师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关，其规律如何？你能否求出函数，及函数，（其中，，为常数，且，）的周期？　　生：　　∴．　　同理可求得的周期．　　【例2】求证：　　（1）的周期为；　　（2）的周期为；　　（3）的周期为．　　分析：依据周期函数定义证明．　　证明：（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴的周期为．　　（2）　　　　　　　　　　　∴的周期为．　　（3）　　

6、　　　　　　　　　∴的周期为．　　3．演练反馈（投影）　　（1）函数的最小正周期为（）　　A．　　B．　　C．　　D．　　（2）的周期是_________　　（3）求的最小正周期．参考答案：　　（1）C；（2）∴　　（3）欲求的周期，一般是把三角函数化成易求周期的函数或的形式，然后用公式求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．　　由　　　　4．总结提炼　　（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．　　（2）设，．若为的周期，则必有：①为无限

7、集，②；③在上恒成立．　　（3）只有或型的三角函数周期才可用公式，不具有此形式，不能套用．如，就不能说它的周期为．（四）板书设计课题1．周期函数定义两点注意：思考问题①②2．最小正周期定义例1例2的周期的周期练习反馈总结提炼　　思考题：设是定义在上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当时，，求上的表达式　　参考答案：....，。