立体几何中向量法综合练习

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1、高二数学通用版立体几何中的向量法综合练习（答题时间：60分钟）1.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为（）A.B.C.D.2.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A.60ºB.90ºC.105ºD.75º*3.设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是（）A.0B.2C.4D.64.棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BA

2、D＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦值为（）A.B.C.D.5.在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（）A.B.C.D.6.棱长为a的正四面体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则a、H、h、d的大小关系正确的是（）A.a>H>h>dB.a>d>h>HC.a>h>d>HD.a>h>H>d7.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则的大小为（）A.45°B.30°C.60°D.90

3、°8.三棱锥A—BCD的高AH＝3，H是底面△BCD的重心。若AB＝AC，二面角A—BC—D为60°，G是△ABC的重心，则HG的长为（）A.B.C.D.9.PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.10.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为。11.如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是.第7页版权所有

4、不得复制*12.正四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角的大小为。13.已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA＝2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离为。14.如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1。（1）求二面角C－DE－C1的正切值；（2）求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。15.如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC

5、，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD平面PAB。（1）求证：AB平面PCB；（2）求异面直线AP与BC所成的角的大小；（3）求二面角C－PA－B的大小的余弦值。16.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a（a>0），PA⊥平面AC，且PA＝1。（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，使得PQ⊥QD？（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，求二面角Q－PD－A的大小。第7页版权所有不得复制第7页版权所有不得复制高二数学

6、通用版立体几何中的向量法综合练习参考答案1.B2.B3.C提示：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1（1，0，0），E（1，，0），C（0，1，0）。设平面A1ECF的法向量为n＝（x，y，z），则由＝0及＝0，可得x＝z＝y，于是可取n＝（1，，1）。，，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30°，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60°。而其他的面对角线所在的向量均不满足条件。4.D5.C6.C7.A8.D9.D10.11.12.45°提示

7、：设AC与BD相交于点O，则与所成的角即∠EOC为所求。易得其大小为45°。13.14.解：（1）如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A－xyz，则有D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）。于是，，。设向量与平面C1DE垂直，则有。第7页版权所有不得复制∴其中z＞0。取n0＝（－1，－1，2），则n0是一个与平面C1DE垂直的向量。∵向量＝（0，0，2）与平面CDE垂直，∴n0与所成的角θ为二面角C－DE－C1的平面角。∵，∴。（2）

8、设EC1与FD1所成的角为b，则。15.（1）证明：∵PC⊥平面ABC，平面ABC，∴PCAB。∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB。又，∴AB平面PCB。（2）解：由（1）AB平面PCB，∵PC＝AC＝2，又∵AB＝BC，可求得BC＝。以B为原点，如图建立坐标系。则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）。＝（，－，2），＝（，