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1、立体几何中的向量方法考点精练1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析：如图，建立空间直角坐标系O－xyz，令正四棱锥的棱长为2，4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()题型一利用空间向量证明平行与垂直例1如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B
2、1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.证明：如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．解后反思：证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法．用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理．若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便．题型二利用空间向量求空间线线角与线面角例2如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C
3、′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．题型三利用空间向量求空间面面角与点面距离例3如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A－A1D－B的大小；(3)求点C到平面A1BD的距离．解析：(1)取BC中点O，连接AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.题型四
4、利用空间向量研究空间中的探索性问题例4如图①所示的正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B(如图②)．在图②中：(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由．(2)求二面角E－DF－C的余弦值．(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．解析：(1)在△ABC中，由E、F分别是AC、BC的中点，得EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF.∴AB∥平面DEF.解后反思：对于探索性问题，一般先假设
5、存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．方法技巧1．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的
6、夹角来运算．(1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosθ＝
7、cos〈a，b〉
8、.(2)求直线l与平面α的夹角θ可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sinθ＝
9、cos〈n，a〉
10、.(3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝〈n1，n2〉，或π－〈n1，n2〉．3．求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段．失误防范1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如可证明线面平行，
11、只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．2．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．随堂反馈1．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.证明：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三
12、边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，且C1C垂直底面，∴AC、BC、C1C两两垂直．如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．2．(2010·课标全国卷)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．解析：由题意分析可知PA
