用向量法解立体几何综合练习.doc

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1、高二数学通用版用向量法解立体几何综合练习（答题时间：60分钟）1.如图，在直三棱柱中，，，点是的中点。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求点到的距离；（Ⅲ）求二面角的大小。2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CB＝1，CA＝，AA1＝，M为侧棱CC1上一点，。（Ⅰ）求证：AM平面；（Ⅱ）求二面角B－AM－C的大小；（Ⅲ）求点C到平面ABM的距离。3.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，，且交于点。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求证：平面⊥平面。4.如图，四棱锥中，底面是边长为2

2、的正方形，，且，为中点。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。5.如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形。、分别是、的中点。若，。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）求直线与平面所成的角的大小。高二数学通用版用向量法解立体几何综合练习参考答案1.解法一：（Ⅰ）证明：连结，设与的交点为，连结。是的中点，是的中点，（Ⅱ）解：设点到的距离为。在三棱锥中，，且。易求得即点到的距离是（Ⅲ）解：在平面内作于点，过点作于点，连结易证明

3、，从而是在平面内的射影，根据三垂线定理得是二面角的平面角。易求得，在中，二面角的大小是解法二：在直三棱柱中，，，两两垂直。如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（Ⅰ）证明：设与的交点为，则（Ⅱ）解：设点到的距离为在三棱锥中，，且。易求得即点到的距离是（Ⅲ）解：在平面内作于点，过点作于点，连结易证明，从而是在平面内的射影，根据三垂线定理得是二面角的平面角。易知二面角的大小是2.解法一：（I）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，易知面ACC1A1⊥面ABC，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥面ACC1A1，∵面A

4、CC1A1∴BC⊥AM∵，且∴AM平面（II）设AM与A1C的交点为O，连结BO，由（I）可知AMOB，且AMOC，所以∠BOC为二面角B－AM－C的平面角，在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠AA1C＝∠MAC∴Rt△ACM∽Rt△A1AC∴∴∴在Rt△ACM中，∵∴∴在Rt△BCO中，∴，故所求二面角的大小为45°（Ⅲ）设点C到平面ABM的距离为h，易知，可知∵∴∴∴点C到平面ABM的距离为解法二：（I）同解法一（II）如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建

5、立空间直角坐标系，则，设∵。∴即，故，所以设向量为平面AMB的法向量，则，则即，令x＝1，平面AMB的一个法向量为，显然向量是平面AMC的一个法向量，易知，与所夹的角等于二面角B－AM－C的大小，故所求二面角的大小为45°。（Ⅲ）所求距离为：∴点C到平面ABM的距离为3.方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结。是正方形，∴是的中点。是的中点，∴是的中位线。∴。又∵平面，平面，∴平面。（Ⅱ）解：取中点，则。作于，连结。∵底面，∴底面。∴为在平面内的射影。∵，∴。∴为二面角的平面角。设，在中，，∴。∴二面角的大小为。（III）证

6、明：由条件有∴平面，∴又∵是的中点，∴∴平面∴由已知∴平面又平面∴平面平面方法二：（Ⅰ）同方法一（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，故设，则。底面，∴是平面的法向量，。设平面的法向量为，，则即∴令，则。∴，∴二面角的大小为。（III），，又且。。又平面∴平面⊥平面。4.解法一：（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，∴，又，∴平面，∴。同理，∴平面。（Ⅱ）解：设为中点，连结，又为中点，可得，从而底面。过作的垂线，垂足为，连结。由三垂线定理有，∴为二面角的平面角。在中，可求得∴。∴二面角的大小为。（Ⅲ）解：由为中点可

7、知，要使得点到平面的距离为，即要点到平面的距离为。过作的垂线，垂足为，∵平面，∴平面平面，∴平面，即为点到平面的距离。∴，∴。设，由与相似可得，∴，即。∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为。解法二：（Ⅰ）证明：同解法一。（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系，则。设为平面的一个法向量，则，。又令则得。又是平面的一个法向量，设二面角的大小为，则。∴二面角的大小为。（Ⅲ）解：设为平面的一个法向量，则，。又，令则得。又∴点到平面的距离，∴，解得，即。∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点。5.解法一：（Ⅰ）取

8、的中点，连结，，又由为中点，则。又由已知有，∴。∴四边形是平行四边形。∴。又平面，平面，∴平面。（Ⅱ）∵平面，∴平面平面。由是矩形有。∴平面。∴。又，是的中点，∴。∵，∴平面。由，∴平面。∴平面平面。在平面内，过作于，由于平面平面，则的长就是点到平面的距离。由已知可得，，。由于平面，∴。∴。∴点到平面的距离为。（Ⅲ）