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《用向量解立体几何综合题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三讲用空间向量的方法解立体几何问题一、主干知识空间直线、平面间的平行、垂直的向量表示：设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)．平面α,β的法向量分别为=(a3,b3,c3),=(a4,b4,c4)．(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a=kb⇔___________________．(2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=__⇔_______________．(3)线面平行：l∥α⇔a⊥⇔a·=__⇔_______________．a1=ka2,b1=kb2,c1=kc20a1a2+b1b2+c1c2=00
2、a1a3+b1b3+c1c3=0(4)线面垂直：l⊥α⇔a∥⇔a=k⇔___________________．(5)面面平行：α∥β⇔∥⇔=k⇔___________________．(6)面面垂直：α⊥β⇔⊥⇔·=__⇔_______________．a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3a3=ka4,b3=kb4,c3=kc40a3a4+b3b4+c3c4=0二、必记公式1．异面直线所成的角：设a,b分别为异面直线a,b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cosθ=_______．2．线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则
3、斜线l与平面α所成的角满足sinθ=________．3．二面角：(1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=________．(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=_______________________．-cos或cos1．(2013·金华模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()【解析】选A．建立如图所示空间直角坐标系，设正
4、三棱柱的棱长为2，A(0，-1,0)，B1(0,2)，则＝(1,2)，O(0,0,0)，B(0,0)，则＝(0,0)为侧面ACC1A1的法向量，sinθ＝2．(2013·揭阳模拟)过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD．若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】选B．建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角(锐角)的余弦值为故所求的二面角的大小是45°．3．(201
5、3·佛山模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为其中正确命题的序号是________．【解析】设正方体的棱长为1，①中故①正确；②中由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成的角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中＝0，故④也不正确．答案：①②4．(2013·福州模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为______．【解析】建立空间直角
6、坐标系如图所示，易得M(0，0，)，A1(0，0)，A(0，)，B1(1,0,0)，所以所以＝1×0＋3-＝0，所以即AB1⊥A1M．答案：90°热点考向1利用空间向量求线线角、线面角【典例1】(2013·郑州模拟)如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．(1)求DP与CC′所成角的大小．(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．【解题探究】(1)解答本题直接求的坐标不易求，应如何转化？提示：延长DP交B′D′于H，转化为求DH与CC′所成的角．(2)直线CC′的方向向量与平面AA′D′D的法向量能
7、直接确定坐标吗?提示：能直接确定,以D为原点，DA所在直线为x轴建立空间直角坐标系后，设正方体棱长为1，直线CC′的方向向量为=(0,0,1),平面AA′D′D的一个法向量是=(0，1，0)．【解析】如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体棱长为1，则=(1,0,0),=(0，0，1)．连接BD,B′D′，在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H．设=(m,m,1)(m>0),由已知〈〉=60°,由可得2m=解得m=所以DH=(1)因为所以〈〉=45°．即DP与CC′所成的角为45°．(2)平面AA′D′
8、D的一个法向量是=(0,1,0)．因为所以〈〉=60°．可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°．【方法总结】1．利用空间向量求空间角的一般步骤(1
