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1、实用标准文案用向量方法求空间角和距离前言:在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题.1.求空间角问题空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;(平面和平面所成的角)二面角.(1)求异面直线所成的角设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角=(2)求线面角设是斜线l的方向向量,是平面的法向量,则斜线l与平面所成的角=(3)求二面角 方法一:在内
2、,在内,其方向如图,则二面角的平面角=方法二:设是二面角的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面角=文档实用标准文案2.求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,像异面直线间的距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求.(1)求点面距离方法一:设是平面的法向量,在内取一点B,则A到的距离方法二:设于O,利用和点O在内 的向量表示,可确定点O的位置,从而求出.(2)求异面直线的距离方法一:找平面使且,则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面的距离,又转化为点A到平面的距离.方法二:在a上取一点
3、A,在b上取一点B,设、分别为异面直线a、b的方向向量,求(,),则异面直线a、b的距离(此方法移植于点面距离的求法).例1.如图,在棱长为2的正方体中,E、F分别是棱的中点.(Ⅰ)求异面直线所成的角;(II)求和面EFBD所成的角;(III)求到面EFBD的距离解:(Ⅰ)记异面直线所成的角为,则等于向量的夹角或其补角,文档实用标准文案(II)如图建立空间坐标系,则,设面的法向量为 由得 又 记和面EFBD所成的角为则 ∴和面EFBD所成的角为.(III)点到面EFBD的距离d等于向量在面EFBD的法向量上的投影的绝对值,点评:1.作为本专题的例1,首先选择以一个容
4、易建立空间直角坐标系的多面体―正方体为载体,来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解.2.解决(1)后,可让学生进一步求这两条异面直线的距离,并让学生体会一下:如果用传统方法恐怕很难(不必多讲,高考对公垂线的作法不作要求).3.完成这3道小题后,总结:对于易建立空间直角坐标系的立几题,无论求角、距离还是证明平行、垂直(是前者的特殊情况),都可用向量方法来解决,向量方法可以人人学会,它程序化,不需技巧.例2.如图,三棱柱中,已知ABCD是边长为1的正方形,四边形文档实用标准文案是矩形,(Ⅰ)若=1,求直线AB到面的距离.(II)试问:当的长度为多少时,二面角的大小为解:(Ⅰ
5、)如图建立空间坐标系,则 设面的法向量为 则 得 直线AB到面的距离d就等于点A到面的距离,也等于向量在面的法向量上的投影的绝对值,(II)易得面的法向量向量的夹角为由得 当=1时,二面角的大小为.点评:1.通过(Ⅰ),复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量(法向量)投影的绝对值的解题思路与方法.2.通过(II),复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法,也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补,就没有其他情况.例3.正三棱柱的所有棱长均为2,P是侧棱上任意一点.文档实用标准文案(Ⅰ)求证:直线不可能与平面垂直;(II)当时,求二面角的大小.证明:(Ⅰ)如
6、图建立空间坐标系,设则的坐标分别为,不垂直直线不可能与平面垂直.(II),由,得即 又 是面的法向量设面的法向量为,由得,设二面角的大小为则二面角的大小为.点评:1.前面选择的两个题,可有现成的坐标轴,但本题x、z轴需要自己添加(也可不这样建立).2.第(1)小题是证明题,同样可用向量方法解答,是特殊情况;本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行.例4(安徽卷)如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,,,,为的中点,为的中点文档实用标准文案(Ⅰ)证明:直线;(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。解:作于点P,如图,分别以AB,AP,A
7、O所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即取,解得(2)设与所成的角为,,与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,由,得.所以点B到平面OCD的距离为例5(福建•理•18题)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点。(Ⅰ)求证:AB1⊥面A1BD;(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小;(Ⅲ)求点C到平面A1BD的距离;解:(Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.在正三棱柱中,平面平面,平面.文档实用标准文案xzABCDOFy取中点,以为原点,,,的方向为