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1、实用标准文案用向量方法求空间角和距离前言：在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．1.求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角．（１）求异面直线所成的角设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角=（２）求线面角设是斜线l的方向向量，是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角=（３）求二面角 方法一：在内
2、，在内，其方向如图，则二面角的平面角=方法二：设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=文档实用标准文案2.求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离方法一：设是平面的法向量，在内取一点B,则A到的距离方法二：设于O,利用和点O在内 的向量表示，可确定点O的位置，从而求出．（２）求异面直线的距离方法一：找平面使且，则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面的距离，又转化为点A到平面的距离．方法二：在a上取一点
3、A,在b上取一点B,设、分别为异面直线a、b的方向向量,求（，），则异面直线a、b的距离（此方法移植于点面距离的求法）．例１．如图，在棱长为２的正方体中，E、F分别是棱的中点．（Ⅰ）求异面直线所成的角；（II）求和面EFBD所成的角；（III）求到面EFBD的距离解：（Ⅰ）记异面直线所成的角为，则等于向量的夹角或其补角，文档实用标准文案（II）如图建立空间坐标系，则，设面的法向量为 由得 又 记和面EFBD所成的角为则 ∴和面EFBD所成的角为．（III）点到面EFBD的距离ｄ等于向量在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，点评：1.作为本专题的例１，首先选择以一个容
4、易建立空间直角坐标系的多面体―正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．2.解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）．3.完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．例2．如图，三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形文档实用标准文案是矩形，（Ⅰ）若＝１，求直线AB到面的距离．（II）试问：当的长度为多少时，二面角的大小为解：（Ⅰ
5、）如图建立空间坐标系，则 设面的法向量为 则 得 直线AB到面的距离ｄ就等于点Ａ到面的距离，也等于向量在面的法向量上的投影的绝对值，（II）易得面的法向量向量的夹角为由得 当＝１时，二面角的大小为．点评：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法．２．通过（II），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．例3．正三棱柱的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱上任意一点．文档实用标准文案（Ⅰ）求证：直线不可能与平面垂直；（II）当时，求二面角的大小．证明：（Ⅰ）如
6、图建立空间坐标系，设则的坐标分别为，不垂直直线不可能与平面垂直．（II），由，得即 又 是面的法向量设面的法向量为，由得,设二面角的大小为则二面角的大小为．点评：１．前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题ｘ、ｚ轴需要自己添加（也可不这样建立）．２．第（１）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行．例4（安徽卷）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点文档实用标准文案（Ⅰ）证明：直线；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。解：作于点P,如图,分别以AB,AP,A
7、O所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即取,解得(2)设与所成的角为,,与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,由,得.所以点B到平面OCD的距离为例5（福建•理•18题）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；解：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．文档实用标准文案xzABCDOFy取中点，以为原点，，，的方向为
