向量法解决立体几何的综合问题

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1、空间向量在立体几何中的应用一、利用向量判断位置关系利用向量可证明四点共面、线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等问题，其方法是通过向量的运算来判断，这是数形结合的典型问题例1、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ评述：此题用综合推理的方法不易入手。用向量代数的方法则先证明线线垂直，再由线线垂直来证明线面垂直，从而证得面面垂直.证明面面垂直的原理是一致的，只不过是证明的手段不同利用向量解几何题的一般方法是：把线段或角转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，通过向量运算

2、去计算或证明二、利用向量求空间角利用向量可以进行求线线角、线面角、面面角，关键是进行向量的计算例2、空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求AD与BC所成的角注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系：相等或互补求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示，本题正遵循了这一规律本题多次运用了封闭回路评述：三、利用向量求空间距离空间距离是一种重要的几何量，有点面间的距离、异面直线间的距离、面面（平行关系）间的距离等，利用常规方法求距离

3、，需要较强的转化能力，而用向量法则相对简单例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离A1B1C1D1ABCDXYZ评述：此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解决立体几何问题的优越性平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离(1)、求CD的长(2)、CD与AB所成的角练习：练习：ABCDA1B1C1D1正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心（1）求证：B1O3⊥PAO3PX

4、YZO2O1练习：ABCDA1B1C1D1正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心O3PXYZ（2）求异面直线PO3与O1O2成的角O2O1小结本堂课的学习重点是用向量代数的方法解决立体几何问题，但在学习中应把几何综合推理与向量代数运算推理有机结合起来向量代数推理是更加精练，严密的推理，每一步都要根据运算法则进行学习过程中应善于“前思后想”，提炼方法，开拓思路谢谢，再见