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1、平面向量常考点例析景宁中学吴松敏平面向量是高中数学中代数与几何之间的一座桥梁，原因在于平面向量具有线性运算和坐标运算。平面向量试题，在全国各地高考题中也呈现出五彩缤纷的景象，一些考题考查的将向量的几何性和代数性都考查的非常深刻，但把这些问题进行归纳为以下六个方面，现以例题赏析的形式供读者理解与体会。1.向量的坐标运算（平行与垂直问题）已知向量，，若，则；若，则【典型例题1】（2016秋•贵阳期末）已知向量，，．（Ⅰ）为何值时，垂直？（Ⅱ）若，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵向量，，．∴，∵垂直，∴,解得，∴时，+λ与
2、垂直．（Ⅱ）∵又，∴，∴．∴若，则．【点评】抓住坐标运算不出错，再用平行与垂直的坐标公式，关键是向量的平行与垂直公式不混淆，属于基础题。【跟踪练习1】（2017春•遵义县校级期末）已知平面内三向量，，10.（1）求满足的实数；（2）若，求实数的值；（3）若，求实数的值．【解答】解：（1），∴，解得．（2），．∵，∴，解得．（3）∵，由（2）可得：．∴．2.利用坐标运算解决向量的线性运算问题有关于坐标运算的法则如下：(1)设=,=，则+=；(2)设=,=，则-=；(3)设A，B,则；(4)设=，则=；(5)设=,=
3、，则·=.【典型例题2】如图，在中，，且，点满足（1）用、向量表示向量；（2）求．10【解答】解：如图建立平面直角坐标系．由题意知：，…（1分）设，由得：，∴，∴，∴（4分）（1）设，可求出，∴（8分）（2）∵，∴．（12分）【点评】建立坐标系，用向量的代数性，减少了思维含量，增加了代数运算，涉及到平面向量的基本定理。【跟踪练习2】（2018•宁城县模拟）如图，在矩形中，，BC=2，点为的中点，点在边上，若，则的值是（ ）A．B．1C．D．2【解答】解：据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则
4、：设；∴∴；∴，，；∴．故选：C．102.向量的数量积问题（1）与的数量积(或内积)：·=
5、
6、
7、
8、；（2）投影：
9、
10、是向量在向量方向上的投影；（3）两向量的夹角公式：(=,=).【典型例题3】如图，边长为的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（ ）【解答】解：如图令，由于故如图故故10同理可求得，即，∴•，的最大值是，故选：．【点评】数量积问题要注意投影概念的使用，利用几何性质会使问题简单很多。【跟踪练习3】6．（2017秋•杨浦区校级月考）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒
11、有，则（ ）【解答】解：设
12、
13、=4，则
14、
15、=1，过点作的垂线，垂足为，在上任取一点，设，如图所示；则由数量积的几何意义可得，,于是恒成立，整理得恒成立，只需即可，于是，因此我们得到，即是的中点，∴是等腰三角形，即．故选：．4.向量的模10模长公式：或【典型例题4】（2017春•辽宁期末）已知向量，满足
16、
17、，
18、
19、=，若，则的最小值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：根据条件，设,设，则：∴∴的终点在以为圆心，为半径的圆上，∴
20、
21、的最小值为：.故选：A．【点评】向量模的问题在于公式的运用，很多同学用，但最终会忘了
22、开根号，建议一开始就是用。【跟踪练习4】若非零向量与向量的夹角为钝角，
23、
24、，且当时，取最小值．向量满足，则当取最大值时，
25、
26、等于（ ）A．B．2C．2D．【解答】解：∵当时，取最小值．∴,解得,∴,10∴=﹣，∴=．不妨设,,．向量满足，∴，∴．（*）．令．当上述直线与（*）相切时，=，解得，取时，取最大值．此时联立，解得，∴=．
27、
28、==．故选：A．5.向量的极化恒等式问题10ABCM(1)向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.即：（平行四边形模式）(2)（三角
29、形模式）这个公式将向量的加法、减法和数量积融合在一个式子中，备受命题老师的青睐，浙江省考卷从2008年开始多年考卷考查到这个知识点。【典型例题5】如图，线段长度为，点分别在非负半轴和轴非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围是_____．解：，，=而设的中点为，则，所以=，而所以.【点评】极化恒等式在平行四边形和三角形中的几何意义是关键，寻找中点是突破口。【跟踪练习5】在中，是的中点，，则__-16_____解：6.向量与三角函数结合问题向量与三角内容的结合会从以三角形为载体的
30、三角10函数问题（几何性质角度）或数量积的形式得出关于角的一个函数问题（代数性质角度）。【典型例题6】已知向量，，，．（1）求证：；（2）设，当时，求的值域．【解答】解：（1）∵，．∴，∴．（2）∵．∴．∵，∴．∴．∴．∴．【点评】本题考查了数量积运算、向量垂直与数量积的关系、两角和的余弦公式、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，把向量的代数性考查的很充分。【跟踪练
