多元复合函数求导解析(修改)

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1、7闽江学院数学小论文题目：多元复合函数的求导解析学生姓名：学号：系别：：化学与化学工程系年级：2010级专业：高分子材料与工程完成日期：2010.04.307多元复合函数的求导解析闽江学院化工系高分班郭培芬120101206113摘要在一元函数中，复合函数的求导公式在求导时起着重要的作用，对于多元函数情形也是如此。由于多元复合函数的中间变量和自变量往往不只一个，且复合关系也远比一元函数复杂，所以要掌握变量之间的复合关系。关键词复合函数求导中间变量自变量复合关系由一元函数微分学得知，若函数x=g(t)在点t可导，函数g=f(x)在其对应点x可导,则复合函数y=f(g(t))在点

2、t可导，且有，现在我们把这一复合函数的求导法推广到多远函数。我们都知道，一般刚接触到复合函数，我们都会弄不清它们的关系，而多元复合函数又比一元复合函数来得复杂。为了直观地反映变量之间的关系，可以画出它们的复合关系图，即链式法则。设z=f(u,v)是自变量u、v二元函数，而u=u(x,y),v=v(x,y)是自变量x、y的二元函数，则z=f(u(x,y),v(x,y))是x、y的复合函数，u、v称为中间变量。它的复合关系图如图zuxvy从一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数，但是多元的复合比一元复合情形复杂的多，为此我将其中间变量归结为以下几种情形：中间变量都为一元函数的情

3、形、中间变量都为多元函数的情形、中间变量既有一元函数也有多元函数的情形、某变量既是中间变量又是自变量的情形。1、中间变量都为一元函数的情形如果函数都在点x可导，函熟在对应点有连续的偏导数，则复合函数在点x可导，且有也称为全导数（1·1·1）证明：设当自变量x的改变量为时，中间变量的改变量分别为，函数的改变了为,依条件，函数可微，于是有其中，将上式两边同时除以得zuxvy因为函数图1-1-17如图1-1-1反映了公式（1·1·1）中的变量关系，称为复合函数的结构图。上述复合函数求导法则可以推广到三元以及三元以上的多元复合函数，例如，对于三元函数，其中间变量在满足定理的前提下对x

4、可导，而且解：因为2、中间变量都为多元函数的情形2·1中间变量与自变量是两个的情形如果函数函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可微，且有zuxvy其结构如图2-1-1图(2-1-1)证明：设x在点处取得改变量，y保持不变，则函数从而函数也相应地得到偏改变量,又由于可微，根据微分定义知去除以等式两边得因为7所以同理得解：上述复合函数的求导法则同样也可以推广到多元函数。2·2中间变量是三个，自变量是两个的情形设函数且它们都是可微的，则复合函数也可微，且有zuvx其链式法则如图2-2-1wy图2-2-13、中间变量既有一元函数，也有多元函数的情形7设函数复合成二元函数，那么在

5、满足定理2的类似条件下，z关于s和t的偏导数均存在，且有zxsyt其链式法则如图3-1-1图3-1-1设解：在情形3中，还会遇到这样的情形，复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量，设则复合函数可表示为中的变量x看作是函数关于的变量，所以z是关于x、y的二元复合函数，这样就可以看出x既是中间变量又是自变量。函数的复合关系如图3-1-2zuyx图3-1-2复合函数求偏导数的法则也可以推广到多于两个中间变量和多于两个自变量的情形。如则7多元复合函数求导的关键是弄清复合函数中哪些是中间变量，哪些是自变量，函数关系图按照复合函数的链式法则：分线相加，沿线相乘以上就是多元复合函数

6、的一阶求导法则，一般我们只要弄清函数之间的复合关系，都较容易解决问题。以下，我又讨论了下多元函数的高阶求导：设解：fuxvy图4-1-1uxvy图4-1-2注意：求高阶偏导数时，要注意偏导数7仍是复合函数，所以它们的偏导数也要用链式法则来求。4、总结：多元复合函数是多种多样的，这里只有讨论几种比较常见的情形。通过讨论，我们可以知道，在求复合函数对自变量的偏导数或全导数时，首先分清函数变量中哪些是中间变量，那些是自变量，在一般情况下复合函数有几个中间变量，求导公式中就含有几项没经过几次复合该项就有几个因子相乘。掌握好这些方法，一般就可以解决复合函数的求导。参考文献：[1]陈文立

7、，《新微积分学》[M],广东高等教育出版社，2006年2月[2]杨自皓、罗捍东，《微积分》[M]，中国财政经济出版社，2007年9月[3]杨静化，《应用微积分》[M]，科学出版社，2005年6月[4]曹克明，《微积分-综合类》[M]，中国财政出版社，2002年9月[5]吴肇基、陈卫忠，《应用微积分》[M]，东南大学出版社，20008年[6]贾晓峰、王希云，《微积分与数学模型》[M]，高等教育出版社，1999年10月