第3章图像变换

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1、第三章图像变换3.1频域世界与频域变换3.2离散傅里叶变换3.3离散余弦变换3.4沃尔什变换3.5哈达码变换图像变换的目的在于：①使图像处理问题简化；②有利于图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信息的理解。图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：①正交变换必须是可逆的；②正变换和反变换的算法不能太复杂；③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。频域世界与频域变换任意波形可分解为正弦波的加权和y1=Sin(x+/2)A=

2、1,=/2,f=1/2y2=0.5sin(2x+)A=0.5,=,f=1/y3=0.25sin(4x+3/2)A=0.25,=3/2,f=2/y=Sin(x+/2)+0.5sin(2x+)+0.25sin(4x+3/2)x[0,4]傅立叶变换是被广泛应用的重要工具之一，傅立叶变换不仅能用于了解图像的本质和信息，还能用于对图像的处理。图像是二维信号，使用傅立叶变换可将图像分解成一系列在各个方向上的空间正弦信号，每个正弦信号都有精确的频率。3.1频域世界与频域变换波形的频域表示y=Sin(x+/2)+0.5sin(2x+)+0.25sin(4x

3、+3/2)x[0,4]幅频特性Af0.250.510.751/23/21/2/相频特性f/223/21/23/21/2/时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法:完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。3.2连续函数的傅立叶变换1.一维连续函数的傅立叶变换令f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换用F(u)表示，则定义式为若已知F(u)，则傅立叶反变换为式（3.2-1）和（3.2-2）称为傅立叶变换对。这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、

4、振幅、能量和相位分别表示如下：傅立叶变换中出现的变量u通常称为频率变量。2.二维连续函数的傅立叶变换傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为

5、F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)]E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)3.3离散函数的傅立叶变换1.一维离散函数的傅立叶变换假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△

6、x]}，如图3.2.3所示。将序列表示成f(x)=f(x0+x△x)即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为F(u)=式中u=0，1，2，…，N﹣1。反变换为f(x)=式中x=0，1，2，…，N-1。例如：对一维信号f(x)=[1010]进行傅立叶变换。由得u=0时，u=1时,u=2时,u=3时,在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为F(u)==Af(x)xy1-1j-j2.二维离散函数的傅立叶变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为F(u，v)=(3.

7、2—20)式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。f(x，y)=(3.2—21)式中x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。i=imread('Miss256G.bmp');f=fft2(i);f=log(abs(f));f=

8、fftshift(f);imshow(f,[])原图离散傅立叶变换后的频域图3.3离散余弦变换（DiscreteCosineTransform,DCT）离散余弦变换是许多图像和视频压缩算法的基础，对于图像的压缩JPEG标准和视频图像压缩的MPEG标准，这两种标准都是以DCT为基础的，可见DCT在图像处理中占有很重要的位置。一维离散余弦变换对于一维信号（）其离散余弦变换为其逆变换为式中二维离散余弦变换设f(x,y)为M×N的数字图像矩阵，则二维离散余弦变换为：二维逆离散余弦变换为离散余弦变换和离散傅里叶变