数字图像处理 第3章 图像的变换

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1、第3章图像的变换图像的变换数字图像处理的方法分为两类：空间域处理法（或者称为空域法）和频域法（或者称为变换域法）。一般数字图像处理的计算方法本质上都可看成是线性的，处理后的输出图像阵列可看作输入图像阵列的各个元素经加权线性组合而得到，这种空间线性处理要比非线性处理简单。但图像阵列一般都很大，如果没有有效的算法，计算上比较复杂、费时。图像的频域处理最突出的特点是其运算速度高，并可采用已有的二维数字滤波技术进行所需要的各种图像处理，因此得到了广泛的应用。图像变换可以将图像从空间域转换到频率域，然后在频率域对图像进行各种处理，再将

2、所得到的结果进行反变换，即从频率域变换到空间域，从而达到图像处理的目的。3.1图像的正交变换正交变换是图像处理技术的一种重要工具，在图像处理中，如图像增强、复原、编码、描述和特征提取等方面，都有着广泛的应用。通过正交变换改变图像的表示域及表示数据，给后续处理工作带来了极大的方便。正交变换可分为3大类型，即正弦型变换、方波型变换和基于特征向量的变换。正弦型变换主要包括傅里叶变换、余弦变换和正弦变换；方波型变换主要包括哈达玛（Hadamarn）变换、沃尔什（Walsh）变换、斜变换和Haar变换；基于特征向量的变换主要包括Hot

3、elling变换、K－L变换和SVD变换。图像的正交变换对于数字图像或图像块｛f(x,y),x=0,1,…,M－1;y=0,1,…,N－1｝，其二维离散线性变换的一般形式为式中，u=0,1,…M－1;v=0,1,…,N－1;p(u,v,x,y)称为正变换核。同样，对应的反变换的一般形式为式中，x=0,1,…M－1;y=0,1,…,N－1;q(u,v,x,y)称为反变换核。在大部分已有的变换中，变换核都可以表示为p(u,v,x,y)=p1(u,x)p2(v,y)q(u,v,x,y)=q1(u,x)q2(v,y)图像

4、的正交变换这时的变换称为变换核可分离的，并可进一步写成这表明，一个变换核可分离的二维离散线性变换，可通过分别对于2个变量的一维离散线性变换来实现，对于正反变换都是如此。图像的正交变换对于变换核可分离的变换，其正变换式的矩阵形式为同样，反变换式可表示为当图像及其变换分别用堆叠构成的矢量表示时，可由上式得到以下矢量形式的正反变换式:F=Pf及式中，F和f均为M×N维矢量，而P和Q为MN×MN的变换矩阵。显然有图像的正交变换如果变换为变换核可分离的，且有式（3.1.3）和（3.1.4）的矩阵形式，则变换矩阵P和Q可由

5、下式求得:式中符号表示矩阵的直积运算。根据直积运算的性质可得：上式说明，若反变换存在，则存在，从而和存在，因而可令图像的正交变换对于上述变换，若满足则称P为酉矩阵（上标“*”表示复共轭），并且，这时Q也一定是酉矩阵，所以，可称相应的变换为酉变换。若酉矩阵为实阵，则称为正交矩阵，相应的变换称为正交变换。于是，对于变换核可分离的酉变换，根据式(3.1.5)和(3.1.6)，变换矩阵P1、P2、Q1和Q2均为酉矩阵，且反变换为若P1和P2都为对称矩阵，则上式可进一步写成f=P1FP2即反变换和正变换的计算公式完全

6、相同。3.2傅里叶变换1807年，傅里叶提出了傅里叶级数的概念，即任一周期信号可分解为复正弦信号的叠加。1822年，傅里叶又提出了傅里叶变换。傅里叶变换是一种常用的正交变换，它的理论完善，应用程序多。在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要的作用，用它可完成图像分析、图像增强及图像压缩等工作。傅里叶变换主要分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换，在数字图像处理中经常用到的是二维离散傅里叶变换。3.2.1连续函数的傅里叶变换令f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅里叶变换以F{f(x)}表示，则表达式为傅里叶变换中出

7、现的变量u通常称为频率变量。若已知F(u)，则傅里叶反变换为式（3.2.1）和（3.2.3）称为傅里叶变换对。连续函数的傅里叶变换这里f（x）是实函数，它的傅里叶变换F（u）通常是复函数。F（u）的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：实部虚部振幅能量相位连续函数的傅里叶变换傅里叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x,y)是连续和可积的，且F(u,v)是可积的，则存在如下的傅里叶变换对：与一维的情况一样，二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为连续函数的傅里叶变换图3.1（a）所示矩形函数的傅里叶变换为其傅里叶

8、谱为矩形函数的傅里叶谱如图3.1（b）所示。连续函数的傅里叶变换图3.1矩形函数的傅里叶变换及其相位谱3.2.2离散函数的傅里叶变换假定以间隔Δx对一个连续函数f(x)均匀采样，离散化为一个序列{f(x0),f(x0+Δx),…,f[x0+(N－1)Δx]}（如图3.3所示），则将序列表