数字图像处理图像变换

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1、第三章图像变换3.1引言3.2连续与离散的傅立叶变换3.3二维离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform：DFT)性质3.4快速傅立叶变换3.5离散余弦变换(DiscreteConsineTransform：DCT)3.1引言3.1.1概述图像表示像素的二维阵列（矩阵）看成一组正交基合成傅立叶变换（FourierTransform)属于第二种表示,把图像看成一组正弦、余弦谐波合成。为什么要在频率域研究图像增强可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。可以

2、在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。有时也可以通过频率域试验，再选择空间滤波，实施在空间域进行。3.1.1概述3.1.1概述由于变换的目的是为了使图像处理简化，因而对图像变换有以下三方面的要求：1.变换必须是可逆的，它保证了图像变换后，还可以变换回来。2.变换应使处理得到简化。3.变换算法本身不能太复杂。图像变换的理论很多，如离散的傅立叶变换(DFT)，沃尔什(Walsh)变换，离散余弦变换(DCT)及哈特林(Hoteling)变换。其中最常用的是傅立叶变换，是各种滤波的基础，在图像处理中广泛应用。图像变换——图像转换到另一种空间处理，特有性质图

3、像处理和分析的数学基础图像变换可分离变换统计变换Fourier变换(DFT)DCTWHTSTHT,WavletTransform3.1.1概述Hotelling（KL变换）3.1.2线性系统1.系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。系统x(t)输入y(t)输出f(x,y)输入g(x,y)输出系统3.1.2线性系统2.线性系统的定义：1)对于某特定系统，有：x1(t)y1(t)(输入x1(t)产生输出y1(t)）x2(t)y2(t)(输入x2(t)产生输出y2(t)）该系统是线性的，则ax1(t)+bx2(t)ay1(

4、t)+by2(t)(输入ax1(t)+bx2(t)就产生输出ay1(t)+by2(t)，其中a，b是常数）即系统的响应遵守叠加原理3.1.2线性系统2)线性系统移不变性的定义：对于某线性系统，有：x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：x(t-T)y(t-T)则称该线性系统具有移不变性线性系统作为一个运算，应满足以上两个条件。3.2连续与离散的傅立叶变换3.2.1连续傅立叶变换要研究波形由哪些频率组成的，需要把输入信号用一维傅立叶变换成频率域的信号，这是在处理和分析时间波形等一维信号方面的一个重要手段。3.2.1连续傅立叶变换1.一维连续傅立叶变换：定义设f(x)为实变量x的连续函数，

5、f(x)的傅立叶变换表示为F{f(x)},即：或写为：其中j2=-13.2.1连续傅立叶变换如果给定F(u),f(x)可以由傅立叶逆变换得到：3.2.1连续傅立叶变换几个概念假设函数f(x)为实函数。但一个实函数的傅立叶变换可能为复函数：F(u)=R(u)+jI(u)（1）f(x)的傅立叶模（傅立叶谱）记为：

6、F(u)

7、

8、F(u)

9、=[R2(u)+I2(u)]1/2（2）f(x)的傅立叶模平方（能量谱）记为：P(u)P(u)=

10、F(u)

11、2=R2(u)+I2(u)3.2.1连续傅立叶变换（3）f(x)的傅立叶相位记为：(u)(u)=tan-1(I(u)/R(u))把F(u)写成指数形式：

12、F(u)=F(u)•ej(u)（4）傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量这个名称源于尤拉公式中的指数项exp[-j2ux]=cos2ux-jsin2ux如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和的极限，则易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中u的每个值决定了其相应cos,sin函数对的频率。3.2.1连续傅立叶变换2.二维连续傅立叶变换对于二维信号的图像信息来讲，一方面研究输入图像由哪些空间频率成分构成，另一方面在空间频率域中进行各种处理。对于空间频率域来讲，有时也把图像本身叫做空间域（spacedomain)。空间频率（spacefrequency)表示单位长度上的

13、正弦浓淡变化的重复次数。用在横轴和纵轴上分别对应于x轴方向和y轴方向的空间频率为u,v的二维平面（空间频率域）来表示。3.2.1连续傅立叶变换yxuva)只在x轴方向有正弦波形状浓淡变化的场合空间域（正弦波形的浓淡变化）空间频率域空间频率3.2.1连续傅立叶变换uvb)在斜方向上有正弦波形状浓淡变化的场合3.2.1连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换：如果f(x,y)连续可积，并且F(u,v)可积，则存在以下傅立