第4章 图像变换.doc

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1、第4章图像变换4.1阿贝成像理论在17世纪以前，人们一直认为光的本性是直线传播的。直到1678年惠更斯在《论光》一书中提出光的波动学说之后，经菲涅尔的进一步完善，光的波动性才逐渐被人们认识和接受。尽管如此，关于光的成像理论仍沿用它的直线传播本性来解释。几乎是惠更斯提出波动理论后的200年，在1873年，阿贝（E.Abbe,1840—1905）在研究如何提高显微镜的分辨率时，试图用光的波动学说来解释成像原理而首先提出了“二次成像”假说。随后他用数学证明了他的假说。1906年波特（A.B.Porter）用一系列实验证实了阿贝的二次成像假说，从而使阿贝二次成像理

2、论成为近代光信息处理的基础。今天计算机图像处理的许多思想，都从那里借鉴而来。4.1.1阿贝成像理论及其数学证明方法图4.1是采用几何光学原理成像的光路图，物l经透镜系统L后成一倒立实物l′，f为透镜系统焦距。图4.1成像系统几何光路阿贝二次成像假说是这样解释成像过程的，阿贝认为，物体经过光学系统到像经历了两个过程：（1）物l经光学系统后，在它的后焦面上形成衍射图样。（2）以衍射图样为次波波源，在像平面上产生振幅叠加而构成了物的像l′。阿贝从数学上精确地解释了它的假说。阿贝提出，二次成像过程，就是对二维光场的复振幅进行正、反两次傅里叶变换的过程。第一次衍射的

3、作用，是把光场复振幅的空间分布，变成光学系统后焦面上的空间频率分布。第二过程的作用，就是把空间频率分布还原成光场复振幅的空间分布。假定物面上复振幅的分布为f（x，y），光学系统后焦面上的复振幅的空间频率分布为F（u，v），则f（x，y）的傅氏变换为dxdy（4-1）第二过程实质上是对F（u，v）作它的逆变换，设像平面上的光波场的复振幅分布为f（x’，y’），则dudv（4-2）f（x’，y’）=kf(x，y)，这是考虑它们之间的差异而不能全等的意思。通常把光学系统的后焦面称为频谱面或变换平面。4.1.2阿贝-波特实验阿贝二次成像假说的提出，引起光学界的极大

4、兴趣。波特于1906年用实验方法证实了阿贝的假说，从此人们改称为阿贝二次成像理论。图4-2是波特实验光路原理图。透镜前放置一个方形细丝网格，用平行光入射，结果在透镜后焦平面上出现一系列按点阵排列的亮斑，而像平面上出现了网络的实像。用阿贝成像理论完全可以解释这一实验现象，后焦面上的一次成像反映了物复振幅函数的傅里叶频谱分布，这正是物函数的傅里叶正变换的结果。沿u，v方向的点阵排列，正是傅里叶频谱的一系列分立频率分量的分布。像平面上的网络图像，正是频谱面上分立频率分量的逆傅里叶变换的结果。这一实验较完整地证明了阿贝二次成像理论的正确性。图4-2阿贝-波特实验光

5、路原理图波特的实验更加引起人们兴趣的是，在频谱面上采用不同形式的光束限制，而像也将发生变化。例如，沿水平方向放一狭缝，即仅让水平方向一行斑点通过而阻挡其它的斑点不能通过，则网格像变成了一组垂直条纹，见图4-3（A）。这表示像的竖直结构是水平方向的频率分量的贡献。再将狭缝旋转90°，网格像也将随之改变成一组水平的平行条纹，见图4-3（B）。这说明像的水平结构是竖直方向的频率分量的贡献。如果将狭缝改成一小圆屏，挡住中心亮斑而让其它亮斑通过，则网格像对比度反转，即网格像的原黑线变白，而原白区变黑。如果将圆屏换成一个小孔，仅让中心亮斑通过而挡住其它斑点，则网格像将

6、不出现了。频谱面上光束形式的变化造成像平面上像的变化，启发人们在频谱面上采取不同措施来改善和提高像的质量。由此而发展了“光学信息处理”这门学科。如“图像相减”、“图像边缘增强”、“目标识别”等技术，应用于军事、工农业生产等诸多领域。因而可以说，阿贝成像理论是近代光学信息处理科学的基础，也是我们数字图像处理学科的物理基础。图4-3网格物面的狭缝滤波4.2函数的傅里叶（Fourier）变换令f(x)为实变量x的连续函数且在（-∞，+∞）内绝对可积。f(x)的傅里叶变换的定义为：（4-3）式中j=,u为函数f(x)变换后的空间频率。若已知F(u)，则可利用傅里叶

7、反变换求得f(x)。（4-4）式（4-3）和式（4-4）称为傅里叶变换对，简称傅氏变换对，记作：（4-5）如果f(x)是连续可积的，并且F(u)是可积的，可以证明此傅氏变换对存在。在实际应用中这些条件基本上都可以满足。由式（4-3）可以看出，即使f(x)是一实函数，其傅氏变换通常是自变量u的复函数。且具有以下形式：F(u)=R(u)+jI(u)（4-6）式中R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。我们也可以将式（4-6）写成指数形式：F(u)=

8、F(u)

9、ejθ(u)（4-7）式中（4-8）tg-1（4-9）

10、F(u)

11、称为f(x)的振幅谱或傅里叶谱

12、或称变换的幅值；θ(u)是傅里叶变换的相角。振幅谱的平方称为f(x