数理方法定解问题

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1、授课题目定解条件授课类型理论课首次授课时间年月日学时2教学目标理解初始条件和边界条件的意义，掌握边界条件的导出方法，了解线性方程的迭加原理重点与难点重点：初始条件和边界条件的物理意义难点：边界条件的导出教学手段与方法多媒体、讲授与讨论教学过程（包括授课思路、过程设计、讲解要点几个部分具体内容、时间分配）§9.3定解问题(P190)数理方程只是反映了待研究物理量与外界作用、相邻部分作用之间关系的规律，要确切定出一个具体系统发生的物理过程，必须考虑系统所处的特定周围环境及历史情况.1初始条件—待求量及其导数在开始时刻的值待求量随时间变化系统中的物理过程与系统的历史有关1.1一维波动方程中含有

2、对的二阶偏导数初始位移分布—初始速度分布—其中2.2输运问题方程中含有对的一阶偏导数初始温度或浓度分布—稳定场不随时间变化，故没有初始条件.2边界条件—待求量及其导数或两者的线性组合在边界上的值以下只介绍三类边界条件，除第一类边界较易直接写出外，二、三次边界条件通常需要推导，其方法类似于推导方程，区别在于微元取在边界上.2.1第一类(狄里克雷)边界—确定了待求量在边界上的值a)长为，两端固定弦的振动，；b)长为细杆上的热传导，两端温度变化已知，.6前者是第一类齐边界，后者是第一类非齐次边界条件.2.2第二类(诺依曼)边界条件—给出待求量在边界上的法向导数值a)纵振动杆的、两端分别受到如下

3、图所示的力f2(t)f1(t)σ(l-ε,t)Sx0l-εl：类似可得：若两端自由，则，为第二类齐次边界b)热传导细杆的两端有沿边界的外法线的面积热流量（热流强度）如图所示q2(t)q1(t)q(ε,t)x0εl：∴，类似若系统边界面为S，沿法向流出的积热流量为，则若系统边界绝热，即在边界上无法向热流，则，为第二类齐次边界任意面的边界S，则2.3第三类(混合型)边界条件—待求量及其法向导数线性组合在边界上的值一般形式：6例如：热传导系统处在环境温度中自由冷却牛顿冷却定律特别，若，则→一维系统∵，则以上三类边界条件可统一记作：，2.4衔接条件—系统内两种介质分界面两侧待求量满足的关系a)一

4、纵振动杆由杨氏换量分别为和两种材料连接而成，分界面在处位移连续：应力平衡：b)静电场：介电常数分别为和两种电介质的分界面为S电势连续：电位移矢量的法向分量连续：，而§9.4线性方程的迭加原理(P193)61叠加原理线性偏微分方程，其中算符1)若是定解问题的解，则线性组合必为的解由有限个线性独立解→无限多个线性独立解2)在1）中…3)设是的解，则是的解解的叠加原理是线性问题的必然结果，对非线性问题不适用.2求解定解问题的一般步骤61)定解问题的适定性这是线性问题的必然要求.2)求解定解问题的一般步骤a)找出形式解b)进行适定性分析，特别是稳定性分析在工程设计中具有特别重要的意义c)解释解的

5、物理含义本课程只讨论a),c),重点是a),而不讨论b).思考题、讨论题、作业1.何谓定解条件？它包括哪些内容？2.何谓边界条件？它分为哪几类？3.在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成系统的分界面S处的衔接条件有几个？具体如何表述？它们的物理意义是什么？4.在杆的纵振动中，在x=l端自由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？5.在杆的热传导问题中，若x=0端绝热，这个边界条件如何写？你能从一物理定律出发证明吗？作业：p196：9.7(1)、(3)，9.8(3)、(4)教学后记66